vectorspace_orthonormalization：将一组线性独立的向量转换为一组正交归一基向量

一个将一组线性无关向量转换为一组正交归一基向量的函数。

> 来自 mlxtend.math 的 vectorspace_orthonormalization

概述

vectorspace_orthonormalization 函数使用 Gram-Schmidt 过程 [1] 将一组线性独立的向量转换为一组正交标准基向量。

参考文献

• [1] https://zh.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt%E8%BF%90%E7%BB%B4

示例 1 - 将一组向量转换为正交标准基底

请注意，要将一组线性无关的向量转换为一组正交归一基向量，vectorspace_orthonormalization 函数期望这些向量以矩阵的列形式排列（这里是 NumPy 数组）。请记住，vectorspace_orthonormalization 函数也适用于非线性独立的向量集；然而，结果向量集将不会是正交归一的。检查输入集中所有向量是否线性独立的一个简单方法是使用 numpy.linalg.det （行列式）函数。

import numpy as np
from mlxtend.math import vectorspace_orthonormalization

a = np.array([[2,   0,   4,  12],
              [0,   2,  16,   4],
              [4,  16,   6,   2],
              [2, -12,   4,   6]])


s = ''
if np.linalg.det(a) == 0.0:
    s = ' not'
print('Input vectors are%s linearly independent' % s)


vectorspace_orthonormalization(a)

Input vectors are linearly independent





array([[ 0.40824829, -0.1814885 ,  0.04982278,  0.89325973],
       [ 0.        ,  0.1088931 ,  0.99349591, -0.03328918],
       [ 0.81649658,  0.50816781, -0.06462163, -0.26631346],
       [ 0.40824829, -0.83484711,  0.07942048, -0.36063281]])

请注意，按比例相同地缩放输入值应该不会改变结果：

vectorspace_orthonormalization(a/2)

array([[ 0.40824829, -0.1814885 ,  0.04982278,  0.89325973],
       [ 0.        ,  0.1088931 ,  0.99349591, -0.03328918],
       [ 0.81649658,  0.50816781, -0.06462163, -0.26631346],
       [ 0.40824829, -0.83484711,  0.07942048, -0.36063281]])

但是，在发生线性依赖的情况下（如下例中，第二列是第一列的线性组合），依赖向量之一的向量元素将变为零。（对于一对线性依赖向量，列索引较大的那个将被置为零。）

a[:, 1] = a[:, 0] * 2
vectorspace_orthonormalization(a)

array([[ 0.40824829,  0.        ,  0.04155858,  0.82364839],
       [ 0.        ,  0.        ,  0.99740596, -0.06501108],
       [ 0.81649658,  0.        , -0.04155858, -0.52008861],
       [ 0.40824829,  0.        ,  0.04155858,  0.21652883]])

API

vectorspace_orthonormalization(ary, eps=1e-13)

Transforms a set of column vectors to a orthonormal basis.

Given a set of orthogonal vectors, this functions converts such column vectors, arranged in a matrix, into orthonormal basis vectors.

Parameters

• ary : array-like, shape=[num_vectors, num_vectors]

  An orthogonal set of vectors (arranged as columns in a matrix)

• eps : float (default: 1e-13)

  A small tolerance value to determine whether the vector norm is zero or not.

Returns

• arr : array-like, shape=[num_vectors, num_vectors]

  An orthonormal set of vectors (arranged as columns)

Examples

For usage examples, please see https://rasbt.github.io/mlxtend/user_guide/math/vectorspace_orthonormalization/