eigenvector_centrality#

eigenvector_centrality(G, max_iter=100, tol=1e-06, nstart=None, weight=None)[source]#

计算图 G 的特征向量中心性。

特征向量中心性通过将其前驱节点的中心性相加来计算节点的中心性。节点 \(i\) 的中心性是与最大模数的特征值 \(\lambda\) 相关联的左特征向量的第 \(i\) 个元素，且该特征向量 \(x\) 是正的。这样的特征向量 \(x\) 由以下方程定义，直到一个乘法常数：

\[\lambda x^T = x^T A,\]

其中 \(A\) 是图 G 的邻接矩阵。根据行-列乘积的定义，上述方程等价于

\[\lambda x_i = \sum_{j\to i}x_j.\]

也就是说，将节点 \(i\) 的前驱节点的特征向量中心性相加，得到乘以 \(\lambda\) 的节点 \(i\) 的特征向量中心性。在无向图的情况下，\(x\) 也解决了熟悉的右特征向量方程 \(Ax = \lambda x\)。

由于 Perron-Frobenius 定理 [1]，如果 G 是强连通的，则存在唯一的特征向量 \(x\)，并且其所有条目都是严格正的。

如果 G 不是强连通的，可能会有多个与 \(\lambda\) 相关联的左特征向量，并且其中一些元素可能为零。

Parameters:
G图

一个 networkx 图。

max_iter整数，可选 (默认=100)

最大幂迭代次数。

tol浮点数，可选 (默认=1.0e-6)

用于检查幂迭代中收敛性的误差容限（欧几里得范数）。

nstart字典，可选 (默认=None)

每个节点的幂迭代的初始值。必须对所需的特征向量有一个非零投影，以使幂方法收敛。如果为 None，此实现使用全一的向量，这是一个安全的选择。

weightNone 或字符串，可选 (默认=None)

如果为 None，所有边的权重都被视为相等。否则，持有用作权重的边属性的名称。在此度量中，权重被解释为连接强度。

Returns:
nodes字典

具有特征向量中心性作为值的节点字典。相关联的向量具有单位欧几里得范数，且值是非负的。

Raises:
NetworkXPointlessConcept

如果图 G 是空图。

NetworkXError

如果 nstart 中的每个值都是零。

PowerIterationFailedConvergence

如果算法在指定的幂迭代方法迭代次数内未能收敛到指定的容差。

See also

eigenvector_centrality_numpy
pagerank()
hits()

Notes

特征向量中心性由 Landau [2] 为国际象棋比赛引入。后来由 Wei [3] 重新发现，并在体育排名的背景下由 Kendall [4] 推广。Berge 基于社交连接为图引入了一般定义 [5]。Bonacich [6] 再次引入了特征向量中心性，并在链接分析中使其流行。

此函数计算左主导特征向量，对应于将其前驱节点的中心性相加：这是通常的方法。要首先将其后继节点的中心性相加，请使用 G.reverse() 反转图。

该实现使用幂迭代 [7] 从提供的向量 nstart 计算主导特征向量。只要 nstart 在主导特征向量上有一个非零投影，收敛性就得到保证，这在使用默认值时肯定发生。

当计算向量在两次迭代之间的变化小于 G.number_of_nodes() * tol 的误差容限或在 max_iter 次迭代后停止，但在第二种情况下会引发异常。

此实现使用 \((A + I)\) 而不是邻接矩阵 \(A\)，因为这种变化保留了特征向量，但移动了谱，从而保证了即使对于具有最大模数的负特征值的网络也能收敛。

References

[1]

Abraham Berman 和 Robert J. Plemmons。 “Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.” Classics in Applied Mathematics. SIAM, 1994.

[2]

Edmund Landau。 “Zur relativen Wertbemessung der Turnierresultate.” Deutsches Wochenschach, 11:366–369, 1895.

[3]

Teh-Hsing Wei。 “The Algebraic Foundations of Ranking Theory.” PhD thesis, University of Cambridge, 1952.

[4]

Maurice G. Kendall。 “Further contributions to the theory of paired comparisons.” Biometrics, 11(1):43–62, 1955. https://www.jstor.org/stable/3001479

[5]

Claude Berge “Théorie des graphes et ses applications.” Dunod, Paris, France, 1958.

[6]

Phillip Bonacich。 “Technique for analyzing overlapping memberships.” Sociological Methodology, 4:176–185, 1972. https://www.jstor.org/stable/270732

Examples

>>> G = nx.path_graph(4)
>>> centrality = nx.eigenvector_centrality(G)
>>> sorted((v, f"{c:0.2f}") for v, c in centrality.items())
[(0, '0.37'), (1, '0.60'), (2, '0.60'), (3, '0.37')]

Additional backends implement this function

graphblas : OpenMP-enabled sparse linear algebra backend.

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