LaplacianNd#
- class scipy.sparse.linalg.LaplacianNd(*args, **kwargs)[源代码][源代码]#
N维网格拉普拉斯算子和其特征值/特征向量。在 N 维的均匀矩形网格上构造拉普拉斯算子，并输出其特征值和特征向量。拉普拉斯算子
L是一个方阵，负定，实对称数组，带有符号整数项，其他地方为零。- 参数:
- grid_shape元组
一个长度为
N的整数元组（对应于拉普拉斯算子的维度），其中每个条目给出该维度的大小。拉普拉斯矩阵的大小为np.prod(grid_shape)的平方。- 边界条件{‘neumann’, ‘dirichlet’, ‘periodic’}, 可选
网格边界上的边界条件的类型。有效值为
'dirichlet'或'neumann'``（默认）或 ``'periodic'。- dtypedtype
数组的数值类型。默认是
np.int8。
- 属性:
方法
toarray()
从拉普拉斯数据构建密集数组
tosparse()
从拉普拉斯数据构建稀疏数组
特征值(m=None)
构造一个一维数组，包含拉普拉斯矩阵的 m 个最大（绝对值最小）的特征值，按升序排列。
特征向量(m=None):
构建一个数组，其列由 m 个对应于 m 个有序特征值的
Nd拉普拉斯矩阵的特征向量（float）组成。.. versionadded:: 1.12.0
注释
与 MATLAB/Octave 实现的 1-、2- 和 3-D 拉普拉斯算子 [1] 相比，此代码允许任意 N-D 情况和无矩阵的可调用选项，但目前仅限于纯 Dirichlet、Neumann 或周期性边界条件。
图的拉普拉斯矩阵（
scipy.sparse.csgraph.laplacian）对于矩形网格对应于带有诺伊曼边界条件的负拉普拉斯算子，即boundary_conditions = 'neumann'。对于一个形状为 grid_shape 的
N维规则网格，离散拉普拉斯算子的所有特征值和特征向量在网格步长h=1的情况下是解析已知的 [2]。参考文献
[1][2]“二阶导数的特征值和特征向量”，维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors_of_the_second_derivative
示例
>>> import numpy as np >>> from scipy.sparse.linalg import LaplacianNd >>> from scipy.sparse import diags, csgraph >>> from scipy.linalg import eigvalsh
下面展示的一维拉普拉斯算子在规则网格上使用
n=6个网格点且纯诺伊曼边界条件的情况下，正是无向线性图的负图拉普拉斯算子，该图具有n个顶点，使用由著名的三对角矩阵表示的稀疏邻接矩阵G：>>> n = 6 >>> G = diags(np.ones(n - 1), 1, format='csr') >>> Lf = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form='function') >>> grid_shape = (n, ) >>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='neumann') >>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), -Lf(np.eye(n))) True
由于拉普拉斯矩阵的所有条目都是整数，
'int8'是存储矩阵表示的默认数据类型。>>> lap.tosparse() <DIAgonal sparse array of dtype 'int8' with 16 stored elements (3 diagonals) and shape (6, 6)> >>> lap.toarray() array([[-1, 1, 0, 0, 0, 0], [ 1, -2, 1, 0, 0, 0], [ 0, 1, -2, 1, 0, 0], [ 0, 0, 1, -2, 1, 0], [ 0, 0, 0, 1, -2, 1], [ 0, 0, 0, 0, 1, -1]], dtype=int8) >>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray()) True >>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray()) True
可以计算任意数量的极值特征值和/或特征向量。
>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='periodic') >>> lap.eigenvalues() array([-4., -3., -3., -1., -1., 0.]) >>> lap.eigenvalues()[-2:] array([-1., 0.]) >>> lap.eigenvalues(2) array([-1., 0.]) >>> lap.eigenvectors(1) array([[0.40824829], [0.40824829], [0.40824829], [0.40824829], [0.40824829], [0.40824829]]) >>> lap.eigenvectors(2) array([[ 0.5 , 0.40824829], [ 0. , 0.40824829], [-0.5 , 0.40824829], [-0.5 , 0.40824829], [ 0. , 0.40824829], [ 0.5 , 0.40824829]]) >>> lap.eigenvectors() array([[ 0.40824829, 0.28867513, 0.28867513, 0.5 , 0.5 , 0.40824829], [-0.40824829, -0.57735027, -0.57735027, 0. , 0. , 0.40824829], [ 0.40824829, 0.28867513, 0.28867513, -0.5 , -0.5 , 0.40824829], [-0.40824829, 0.28867513, 0.28867513, -0.5 , -0.5 , 0.40824829], [ 0.40824829, -0.57735027, -0.57735027, 0. , 0. , 0.40824829], [-0.40824829, 0.28867513, 0.28867513, 0.5 , 0.5 , 0.40824829]])
二维拉普拉斯算子在一个规则网格上进行了说明，该网格在每个维度上有
grid_shape = (2, 3)个点。>>> grid_shape = (2, 3) >>> n = np.prod(grid_shape)
网格点的编号如下：
>>> np.arange(n).reshape(grid_shape + (-1,)) array([[[0], [1], [2]], [[3], [4], [5]]])
每个边界条件
'dirichlet'、'periodic'和'neumann'都分别进行了说明；其中'dirichlet'>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='dirichlet') >>> lap.tosparse() <Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8' with 20 stored elements and shape (6, 6)> >>> lap.toarray() array([[-4, 1, 0, 1, 0, 0], [ 1, -4, 1, 0, 1, 0], [ 0, 1, -4, 0, 0, 1], [ 1, 0, 0, -4, 1, 0], [ 0, 1, 0, 1, -4, 1], [ 0, 0, 1, 0, 1, -4]], dtype=int8) >>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray()) True >>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray()) True >>> lap.eigenvalues() array([-6.41421356, -5. , -4.41421356, -3.58578644, -3. , -1.58578644]) >>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64)) >>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals) True >>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(), ... lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues())) True
使用
'periodic'>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='periodic') >>> lap.tosparse() <Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8' with 24 stored elements and shape (6, 6)> >>> lap.toarray() array([[-4, 1, 1, 2, 0, 0], [ 1, -4, 1, 0, 2, 0], [ 1, 1, -4, 0, 0, 2], [ 2, 0, 0, -4, 1, 1], [ 0, 2, 0, 1, -4, 1], [ 0, 0, 2, 1, 1, -4]], dtype=int8) >>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray()) True >>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray()) True >>> lap.eigenvalues() array([-7., -7., -4., -3., -3., 0.]) >>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64)) >>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals) True >>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(), ... lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues())) True
并且使用
'neumann'>>> lap = LaplacianNd(grid_shape, boundary_conditions='neumann') >>> lap.tosparse() <Compressed Sparse Row sparse array of dtype 'int8' with 20 stored elements and shape (6, 6)> >>> lap.toarray() array([[-2, 1, 0, 1, 0, 0], [ 1, -3, 1, 0, 1, 0], [ 0, 1, -2, 0, 0, 1], [ 1, 0, 0, -2, 1, 0], [ 0, 1, 0, 1, -3, 1], [ 0, 0, 1, 0, 1, -2]]) >>> np.array_equal(lap.matmat(np.eye(n)), lap.toarray()) True >>> np.array_equal(lap.tosparse().toarray(), lap.toarray()) True >>> lap.eigenvalues() array([-5., -3., -3., -2., -1., 0.]) >>> eigvals = eigvalsh(lap.toarray().astype(np.float64)) >>> np.allclose(lap.eigenvalues(), eigvals) True >>> np.allclose(lap.toarray() @ lap.eigenvectors(), ... lap.eigenvectors() @ np.diag(lap.eigenvalues())) True