scipy.special.gdtr#

scipy.special.gdtr(a, b, x, out=None) = <ufunc 'gdtr'>#

Gamma 分布累积分布函数。

返回从零到 x 的伽马概率密度函数的积分，

\[F = \int_0^x \frac{a^b}{\Gamma(b)} t^{b-1} e^{-at}\,dt,\]

其中 \(\Gamma\) 是伽马函数。

参数:

aarray_like: 伽马分布的速率参数，有时表示为 \(\beta\) (浮点数)。它也是尺度参数 \(\theta\) 的倒数。
barray_like: 伽马分布的形状参数，有时记作 :math:`alpha`（浮点数）。
xarray_like: 分位数（积分上限；浮点数）。
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

F标量或ndarray: 参数为 a 和 b 的伽马分布的累积分布函数在 x 处的值。

参见

gdtrc: 1 - 伽马分布的累积分布函数。
scipy.stats.gamma: Gamma 分布

注释

评估是通过与不完全伽马积分（正则化伽马函数）的关系进行的。

Cephes [1] 例程 gdtr 的包装器。直接调用 gdtr 可以比 scipy.stats.gamma 的 cdf 方法提高性能（见下面的最后一个示例）。

参考文献

[1]

Cephes 数学函数库, http://www.netlib.org/cephes/

示例

计算函数在 a=1, b=2 时 x=5 的值。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import gdtr
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> gdtr(1., 2., 5.)
0.9595723180054873

通过为 x 提供一个 NumPy 数组，计算 a=1 和 b=2 在多个点的函数。

>>> xvalues = np.array([1., 2., 3., 4])
>>> gdtr(1., 1., xvalues)
array([0.63212056, 0.86466472, 0.95021293, 0.98168436])

gdtr 可以通过为 a、b 和 x 提供具有广播兼容形状的数组来评估不同的参数集。这里我们计算函数在四个位置 x 和 b=3 下三个不同的 a，结果是一个 3x4 的数组。

>>> a = np.array([[0.5], [1.5], [2.5]])
>>> x = np.array([1., 2., 3., 4])
>>> a.shape, x.shape
((3, 1), (4,))

>>> gdtr(a, 3., x)
array([[0.01438768, 0.0803014 , 0.19115317, 0.32332358],
       [0.19115317, 0.57680992, 0.82642193, 0.9380312 ],
       [0.45618688, 0.87534798, 0.97974328, 0.9972306 ]])

绘制四个不同参数集的函数图。

>>> a_parameters = [0.3, 1, 2, 6]
>>> b_parameters = [2, 10, 15, 20]
>>> linestyles = ['solid', 'dashed', 'dotted', 'dashdot']
>>> parameters_list = list(zip(a_parameters, b_parameters, linestyles))
>>> x = np.linspace(0, 30, 1000)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> for parameter_set in parameters_list:
...     a, b, style = parameter_set
...     gdtr_vals = gdtr(a, b, x)
...     ax.plot(x, gdtr_vals, label=fr"$a= {a},\, b={b}$", ls=style)
>>> ax.legend()
>>> ax.set_xlabel("$x$")
>>> ax.set_title("Gamma distribution cumulative distribution function")
>>> plt.show()

../../_images/scipy-special-gdtr-1_00_00.png

伽马分布也可以通过 scipy.stats.gamma 获得。直接使用 gdtr 通常比调用 scipy.stats.gamma 的 cdf 方法快得多，特别是在处理小数组或单个值时。要获得相同的结果，必须使用以下参数化：stats.gamma(b, scale=1/a).cdf(x)=gdtr(a, b, x)。

>>> from scipy.stats import gamma
>>> a = 2.
>>> b = 3
>>> x = 1.
>>> gdtr_result = gdtr(a, b, x)  # this will often be faster than below
>>> gamma_dist_result = gamma(b, scale=1/a).cdf(x)
>>> gdtr_result == gamma_dist_result  # test that results are equal
True