scipy.special.

spherical_yn#

scipy.special.spherical_yn(n, z, derivative=False)[源代码][源代码]#

第二类球贝塞尔函数或其导数。

定义为 [1],

\[y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n + 1/2}(z),\]

其中 \(Y_n\) 是第二类贝塞尔函数。

参数:
nint, array_like

贝塞尔函数的阶数（n >= 0）。

zcomplex 或 float, array_like

贝塞尔函数的参数。

导数bool, 可选

如果为真，则返回导数的值（而不是函数本身）。

返回:
ynndarray

注释

对于实数参数，函数使用递增递推公式 [2] 计算。对于复数参数，使用与第二类柱贝塞尔函数的定义关系。

导数是使用关系 [3] 计算的。

\[ \begin{align}\begin{aligned}y_n' = y_{n-1} - \frac{n + 1}{z} y_n.\\y_0' = -y_1\end{aligned}\end{align} \]

Added in version 0.18.0.

参考文献

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编。《带有公式、图表和数学表格的数学函数手册》。纽约：Dover，1972年。

示例

第二类球贝塞尔函数 \(y_n\) 接受实数和复数的第二个参数。它们可以返回一个复数类型：

>>> from scipy.special import spherical_yn
>>> spherical_yn(0, 3+5j)
(8.022343088587197-9.880052589376795j)
>>> type(spherical_yn(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我们可以验证导数的关系，根据 \([1, 2]\) 区间内 \(n=3\) 的注释：

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_yn(3, x, True),
...             spherical_yn(2, x) - 4/x * spherical_yn(3, x))
True

前几个带有实参的 \(y_n\)：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 1.0)
>>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $y_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_yn(n, x), label=rf'$y_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()
../../_images/scipy-special-spherical_yn-1.png
On this page