scipy.special.

y1_zeros

scipy.special.y1_zeros(nt, complex=False)

计算贝塞尔函数 Y1(z) 的 nt 个零点，并在每个零点处计算其导数。

导数由 Y1’(z1) = Y0(z1) 在每个零点 z1 处给出。

参数:

nt整数

返回的零的数量

复杂bool, 默认 False

设置为 False 以仅返回实数零点；设置为 True 以仅返回具有负实部和正虚部的复数零点。请注意，后者的复共轭也是函数的零点，但不会被此例程返回。

返回:

z1nndarray

Y1(z) 的第 n 个零点的位置

y1pz1nndarray

第 n 个零点的导数 Y1’(z1) 的值

参考文献

[1]

张善杰和金建铭。《特殊函数的计算》，John Wiley and Sons, 1996年，第5章。https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/f77_src/special_functions/special_functions.html

示例

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计算 \(Y_1\) 的前4个实根及其在根处的导数：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import y1_zeros
>>> zeros, grads = y1_zeros(4)
>>> with np.printoptions(precision=5):
...     print(f"Roots: {zeros}")
...     print(f"Gradients: {grads}")
Roots: [ 2.19714+0.j  5.42968+0.j  8.59601+0.j 11.74915+0.j]
Gradients: [ 0.52079+0.j -0.34032+0.j  0.27146+0.j -0.23246+0.j]

提取实部：

>>> realzeros = zeros.real
>>> realzeros
array([ 2.19714133,  5.42968104,  8.59600587, 11.74915483])

绘制 \(Y_1\) 和前四个计算出的根。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.special import y1
>>> xmin = 0
>>> xmax = 13
>>> x = np.linspace(xmin, xmax, 500)
>>> zeros, grads = y1_zeros(4)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.hlines(0, xmin, xmax, color='k')
>>> ax.plot(x, y1(x), label=r'$Y_1$')
>>> ax.scatter(zeros.real, np.zeros((4, )), s=30, c='r',
...            label=r'$Y_1$_zeros', zorder=5)
>>> ax.set_ylim(-0.5, 0.5)
>>> ax.set_xlim(xmin, xmax)
>>> plt.legend()
>>> plt.show()

计算 \(Y_1\) 的前4个复数根及其在根处的导数，通过设置 complex=True：

>>> y1_zeros(4, True)
(array([ -0.50274327+0.78624371j,  -3.83353519+0.56235654j,
         -7.01590368+0.55339305j, -10.17357383+0.55127339j]),
 array([-0.45952768+1.31710194j,  0.04830191-0.69251288j,
        -0.02012695+0.51864253j,  0.011614  -0.43203296j]))

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