geometric_soft_configuration_graph

geometric_soft_configuration_graph(*, beta, n=None, gamma=None, mean_degree=None, kappas=None, seed=None)

返回一个从几何软配置模型中随机生成的图。

:math:`mathbb{S}^1`模型[1]是几何软配置模型，能够解释现实网络的许多基本特征，如小世界属性、异质度分布、高聚类水平和自相似性。

在几何软配置模型中，节点:math:i`被分配两个隐藏变量：隐藏度:math:kappa_i`，量化其流行度、影响力或重要性，以及在抽象相似空间中的角位置:math:theta_i，其中节点间的角距离是其相似性的代理。聚焦于角位置，该模型常被称为:math:mathbb{S}^1`模型（一维球面）。圆的半径调整为:math:`R = N/2pi，其中:math:`N`是节点数，使得密度在不失一般性的情况下设为1。

任意一对节点的连接概率随其隐藏度（即它们的综合流行度）的乘积增加，随两节点间的角距离减少。具体地，节点:math:`i`和:math:`j`以概率

\(p_{ij} = \frac{1}{1 + \frac{d_{ij}^\beta}{\left(\mu \kappa_i \kappa_j\right)^{\max(1, \beta)}}}\)

连接，其中:math:d_{ij} = RDeltatheta_{ij}`是节点:math:`i`和:math:`j`间圆弧的长度，分隔角距离为:math:Deltatheta_{ij}`。参数:math:mu`和:math:beta`（也称为逆温度）分别控制平均度和聚类系数。

可以证明[2]，模型在:math:beta=1`处经历结构相变，使得对于:math:beta<1`，网络在热力学极限（当:math:Nto infty）下无聚类，而对于:math:beta>1，集合生成具有有限聚类系数的网络。

\(\mathbb{S}^1`模型可以表示为双曲平面中的纯几何模型:math:\)mathbb{H}^2`[3]，通过将每个节点的隐藏度映射为径向坐标，

\(r_i = \hat{R} - \frac{2 \max(1, \beta)}{\beta \zeta} \ln \left(\frac{\kappa_i}{\kappa_0}\right)\)

其中:math:hat{R}`是双曲盘的半径，:math:zeta`是曲率，

\(\hat{R} = \frac{2}{\zeta} \ln \left(\frac{N}{\pi}\right) - \frac{2\max(1, \beta)}{\beta \zeta} \ln (\mu \kappa_0^2)\)

连接概率则为

\(p_{ij} = \frac{1}{1 + \exp\left({\frac{\beta\zeta}{2} (x_{ij} - \hat{R})}\right)}\)

其中

\(x_{ij} = r_i + r_j + \frac{2}{\zeta} \ln \frac{\Delta\theta_{ij}}{2}\)

是两个节点间双曲距离的良好近似，分隔角距离为:math:Deltatheta_{ij}，径向坐标为:math:r_i`和:math:`r_j。对于:math:beta > 1，曲率:math:zeta = 1，对于:math:beta < 1，\(\zeta = \beta^{-1}\)。

Parameters:

提供 `n` 、 `gamma` 、 `mean_degree` 或 `kappas` 。 `n` 、 `gamma` 、 `mean_degree` 的值（如果提供）用于构建一个随机kappa字典，按节点键值，值从幂律分布中采样。

beta正数

逆温度，控制聚类系数。

n整数 (默认: None)

网络的大小（节点数）。 如果未提供，必须提供 kappas 并包含节点。

gamma浮点数 (默认: None)

隐藏度 kappas 的幂律分布指数。 如果未提供，必须直接提供 kappas 。

mean_degree浮点数 (默认: None)

网络中的平均度。 如果未提供，必须直接提供 kappas 。

kappas字典 (默认: None)

按节点键值到其隐藏度值的字典。 如果未提供，基于幂律分布使用 n 、 gamma 和 mean_degree 计算随机值。

seed整数, random_state, 或 None (默认)

随机数生成状态的指示器。 见 Randomness 。

Returns:

图

一个随机几何软配置图（无向且无自环）。 每个节点有三个节点属性：

• kappa 表示隐藏度。

• theta 相似空间 (\(\mathbb{S}^1\)) 中的位置，也是双曲平面中的角位置。

• radius 双曲平面中的径向位置（基于隐藏度）。

References

[1]

Serrano, M. Á., Krioukov, D., & Boguñá, M. (2008). Self-similarity of complex networks and hidden metric spaces. Physical review letters, 100(7), 078701.

[2]

van der Kolk, J., Serrano, M. Á., & Boguñá, M. (2022). An anomalous topological phase transition in spatial random graphs. Communications Physics, 5(1), 245.

[3]

Krioukov, D., Papadopoulos, F., Kitsak, M., Vahdat, A., & Boguná, M. (2010). Hyperbolic geometry of complex networks. Physical Review E, 82(3), 036106.

Examples

生成具有指定参数的网络：

>>> G = nx.geometric_soft_configuration_graph(
...     beta=1.5, n=100, gamma=2.7, mean_degree=5
... )

创建一个具有100个节点的几何软配置图。:math:`beta`参数设为1.5，隐藏度的幂律分布指数为2.7，平均值为5。

生成具有预定义隐藏度的网络：

>>> kappas = {i: 10 for i in range(100)}
>>> G = nx.geometric_soft_configuration_graph(beta=2.5, kappas=kappas)

创建一个具有100个节点的几何软配置图。\(\beta`参数设为2.5，所有节点的隐藏度:math:\)kappa=10`。