scipy.linalg.

eigh

scipy.linalg.eigh(a, b=None, *, lower=True, eigvals_only=False, overwrite_a=False, overwrite_b=False, type=1, check_finite=True, subset_by_index=None, subset_by_value=None, driver=None)

求解复数厄米特矩阵或实对称矩阵的标准或广义特征值问题。

找到数组 a 的特征值数组 w 和可选的特征向量数组 v，其中 b 是正定的，使得对于每个特征值 λ（w 的第 i 个条目）及其特征向量 ``vi``（v 的第 i 列）满足:

              a @ vi = λ * b @ vi
vi.conj().T @ a @ vi = λ
vi.conj().T @ b @ vi = 1

在标准问题中，假设 b 是单位矩阵。

参数:

a(M, M) array_like

一个复杂的厄米特矩阵或实对称矩阵，其特征值和特征向量将被计算。

b(M, M) array_like, 可选

输入一个复杂的厄米特矩阵或实对称正定矩阵。如果省略，则假设为单位矩阵。

下限bool, 可选

相关数组数据是从 a 的下三角或上三角中获取的，如果适用，还包括 b。（默认值：下三角）

eigvals_onlybool, 可选

是否只计算特征值而不计算特征向量。（默认：两者都计算）

subset_by_index可迭代对象, 可选

如果提供，这个两元素的可迭代对象定义了所需特征值的起始和结束索引（升序排列且从0开始索引）。要返回从第二小到第五小的特征值，使用 [1, 4]。[n-3, n-1] 返回最大的三个。仅在使用 “evr”、”evx” 和 “gvx” 驱动程序时可用。条目通过 int() 直接转换为整数。

subset_by_value可迭代对象, 可选

如果提供，这个两元素的可迭代对象定义了半开区间 (a, b]，如果存在，则只返回这些值之间的特征值。仅在使用“evr”、“evx”和“gvx”驱动程序时可用。使用 np.inf 表示无约束的端点。

驱动程序str, 可选

定义应使用哪个 LAPACK 驱动程序。有效选项为标准问题的 “ev”、”evd”、”evr”、”evx” 和广义问题（其中 b 不为 None）的 “gv”、”gvd”、”gvx”。请参阅注释部分。标准问题的默认值为 “evr”。对于广义问题，全集使用 “gvd”，请求子集的情况使用 “gvx”。

类型int, 可选

对于广义问题，此关键字指定要为 w 和 v 解决的问题类型（仅接受 1、2、3 作为可能的输入）:

1 =>     a @ v = w @ b @ v
2 => a @ b @ v = w @ v
3 => b @ a @ v = w @ v

此关键字在标准问题中被忽略。

overwrite_abool, 可选

是否覆盖 a 中的数据（可能会提高性能）。默认值为 False。

overwrite_bbool, 可选

是否覆盖 b 中的数据（可能会提高性能）。默认为 False。

check_finitebool, 可选

是否检查输入矩阵是否仅包含有限数值。禁用可能会提高性能，但如果输入包含无穷大或NaN，可能会导致问题（崩溃、无法终止）。

返回:

w(N,) ndarray

选定的 N 个（N<=M）特征值，按升序排列，每个特征值根据其重数重复。

v(M, N) ndarray

对应于特征值 w[i] 的归一化特征向量是列 v[:,i]。仅在 eigvals_only=False 时返回。

Raises:

LinAlgError

如果特征值计算不收敛，发生错误，或者 b 矩阵不是正定的。请注意，如果输入矩阵不是对称或厄米特矩阵，将不会报告错误，但结果将是错误的。

参见

eigvalsh

对称或厄米数组的特征值

eig

非对称数组的特征值和右特征向量

eigh_tridiagonal

对称/埃尔米特三对角矩阵的特征值和右特征向量

注释

此函数不检查输入数组是否为厄米特/对称，以允许仅表示数组的上/下三角部分。此外，请注意，尽管未考虑在内，有限性检查适用于整个数组，并且不受“下”关键字的影响。

此函数在所有可能的关键字组合中使用 LAPACK 驱动程序进行计算，如果数组是实数则前缀为 sy，如果是复数则前缀为 he，例如，带有“evr”驱动程序的浮点数组通过“syevr”求解，带有“gvx”驱动程序的复数组问题通过“hegvx”求解等。

简而言之，最慢但最稳健的驱动程序是使用对称QR的``<sy/he>ev``。<sy/he>evr 被视为大多数通用情况下的最佳选择。然而，在某些情况下，<sy/he>evd 以更高的内存使用为代价计算速度更快。<sy/he>evx 虽然仍然比``<sy/he>ev`` 快，但通常表现不如其他驱动程序，除非在大数组中仅请求很少的特征值，尽管仍然没有性能保证。

注意，底层 LAPACK 算法会根据 eigvals_only 是 True 还是 False 而有所不同 — 因此特征值可能会根据是否请求特征向量而有所不同。差异通常是机器 epsilon 乘以最大特征值的数量级，因此可能仅在特征值为零或接近零时可见。

对于广义问题，相对于给定的类型参数进行归一化:

type 1 and 3 :      v.conj().T @ a @ v = w
type 2       : inv(v).conj().T @ a @ inv(v) = w

type 1 or 2  :      v.conj().T @ b @ v  = I
type 3       : v.conj().T @ inv(b) @ v  = I

示例

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>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import eigh
>>> A = np.array([[6, 3, 1, 5], [3, 0, 5, 1], [1, 5, 6, 2], [5, 1, 2, 2]])
>>> w, v = eigh(A)
>>> np.allclose(A @ v - v @ np.diag(w), np.zeros((4, 4)))
True

仅请求特征值

>>> w = eigh(A, eigvals_only=True)

请求小于 10 的特征值。

>>> A = np.array([[34, -4, -10, -7, 2],
...               [-4, 7, 2, 12, 0],
...               [-10, 2, 44, 2, -19],
...               [-7, 12, 2, 79, -34],
...               [2, 0, -19, -34, 29]])
>>> eigh(A, eigvals_only=True, subset_by_value=[-np.inf, 10])
array([6.69199443e-07, 9.11938152e+00])

请求第二小的特征值及其特征向量

>>> w, v = eigh(A, subset_by_index=[1, 1])
>>> w
array([9.11938152])
>>> v.shape  # only a single column is returned
(5, 1)

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