place_poles#
- scipy.signal.place_poles(A, B, poles, method='YT', rtol=0.001, maxiter=30)[源代码][源代码]#
计算 K 使得特征值 (A - dot(B, K))=极点。
K 是增益矩阵，使得由线性系统
AX+BU描述的系统将具有其闭环极点，即特征值A - B*K，尽可能接近在极点中要求的那些。支持 SISO、MISO 和 MIMO 系统。
- 参数:
- A, Bndarray
线性系统
AX + BU的状态空间表示。- 极点array_like
期望的实极点和/或复共轭极点。仅在使用
method="YT"（默认）时支持复极点。- 方法: {‘YT’, ‘KNV0’}, 可选
选择哪种方法来找到增益矩阵 K。以下是其中之一：
‘YT’: 杨氏乳头
‘KNV0’: Kautsky, Nichols, Van Dooren 更新方法 0
有关算法的详细信息，请参阅参考文献和注释。
- rtol: float, 可选
在每次迭代后，
A - B*K的特征向量的行列式与其前一个值进行比较，当这两个值之间的相对误差低于 rtol 时，算法停止。默认值为 1e-3。- maxiter: int, 可选
计算增益矩阵的最大迭代次数。默认值为30。
- 返回:
- 全状态反馈Bunch 对象
- full_state_feedback 由以下部分组成：
- 增益矩阵一维 ndarray
闭环矩阵 K 使得
A-BK的特征值尽可能接近所需的极点。- 计算极点一维 ndarray
对应于
A-BK的极点首先按递增顺序排列实极点，然后按字典顺序排列复共轭极点。- 请求的极点一维 ndarray
该算法被要求放置的极点如上所述进行排序，它们可能与实际达到的结果不同。
- X2-D ndarray
转移矩阵如
X * diag(poles) = (A - B*K)*X（见注释）- rtol浮动
在
det(X)上达到的相对容差（见注释）。如果可以求解系统diag(poles) = (A - B*K)，则 rtol 将为 NaN，或者当优化算法无法执行任何操作时，即当B.shape[1] == 1时，rtol 将为 0。- nb_iter整数
在收敛之前执行的迭代次数。如果可以求解系统
diag(poles) = (A - B*K)，则 nb_iter 将为 NaN，或者当优化算法无法执行任何操作时，即当B.shape[1] == 1时，nb_iter 将为 0。
注释
Tits 和 Yang (YT) 的论文 [2] 是对原始的 Kautsky 等人 (KNV) 论文 [1] 的更新。KNV 依赖于秩-1 更新来找到转移矩阵 X，使得
X * diag(poles) = (A - B*K)*X，而 YT 使用秩-2 更新。这通常会得到更稳健的解决方案（参见 [2] 第 21-22 页），此外，YT 算法支持复数极点，而 KNV 在其原始版本中不支持。这里只实现了 KNV 提出的更新方法 0，因此命名为'KNV0'。KNV 扩展到复数极点在 Matlab 的
place函数中使用，YT 由 Slicot 在非自由许可证下以robpole名称分发。KNV0 如何扩展到复数极点是不清楚且未文档化的（Tits 和 Yang 在其论文第14页声称他们的方法不能用于扩展 KNV 到复数极点），因此在此实现中仅 YT 支持它们。由于极点配置问题的解决方案对于MIMO系统来说不是唯一的，两种方法都从一个试探性的传递矩阵开始，通过各种方式对其进行修改以增加其行列式。两种方法都已被证明会收敛到一个稳定的解决方案，然而，根据初始传递矩阵的选择方式，它们会收敛到不同的解决方案，因此绝对不能保证使用``’KNV0’``会得到与Matlab或其他任何这些算法的实现相似的结果。
在大多数情况下，使用默认方法
'YT'应该就可以了；'KNV0'仅在某些特定情况下需要由'YT'使用时提供。此外，当使用abs(det(X))作为鲁棒性指标时，'YT'在平均情况下比'KNV0'提供更鲁棒的结果。[2] 作为技术报告可在以下URL获取：https://hdl.handle.net/1903/5598
参考文献
示例
一个简单的示例，展示了使用KNV和YT算法进行实际极点放置。这是参考文献KNV出版物（[1]）第4节中的示例1：
>>> import numpy as np >>> from scipy import signal >>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> A = np.array([[ 1.380, -0.2077, 6.715, -5.676 ], ... [-0.5814, -4.290, 0, 0.6750 ], ... [ 1.067, 4.273, -6.654, 5.893 ], ... [ 0.0480, 4.273, 1.343, -2.104 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 5.679 ], ... [ 1.136, 1.136 ], ... [ 0, 0, ], ... [-3.146, 0 ]]) >>> P = np.array([-0.2, -0.5, -5.0566, -8.6659])
现在使用 KNV 方法 0 计算 K，使用默认的 YT 方法，以及在使用 YT 方法时强制执行 100 次算法迭代，并在每次调用后打印一些结果。
>>> fsf1 = signal.place_poles(A, B, P, method='KNV0') >>> fsf1.gain_matrix array([[ 0.20071427, -0.96665799, 0.24066128, -0.10279785], [ 0.50587268, 0.57779091, 0.51795763, -0.41991442]])
>>> fsf2 = signal.place_poles(A, B, P) # uses YT method >>> fsf2.computed_poles array([-8.6659, -5.0566, -0.5 , -0.2 ])
>>> fsf3 = signal.place_poles(A, B, P, rtol=-1, maxiter=100) >>> fsf3.X array([[ 0.52072442+0.j, -0.08409372+0.j, -0.56847937+0.j, 0.74823657+0.j], [-0.04977751+0.j, -0.80872954+0.j, 0.13566234+0.j, -0.29322906+0.j], [-0.82266932+0.j, -0.19168026+0.j, -0.56348322+0.j, -0.43815060+0.j], [ 0.22267347+0.j, 0.54967577+0.j, -0.58387806+0.j, -0.40271926+0.j]])
X的行列式的绝对值是检查结果稳健性的一个良好指标，
'KNV0'和'YT'都旨在最大化它。以下是对上述结果稳健性的比较：>>> abs(np.linalg.det(fsf1.X)) < abs(np.linalg.det(fsf2.X)) True >>> abs(np.linalg.det(fsf2.X)) < abs(np.linalg.det(fsf3.X)) True
现在是一个关于复数极点的简单示例：
>>> A = np.array([[ 0, 7/3., 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 7/9. ], ... [ 0, 0, 0, 0 ], ... [ 0, 0, 0, 0 ]]) >>> B = np.array([[ 0, 0 ], ... [ 0, 0 ], ... [ 1, 0 ], ... [ 0, 1 ]]) >>> P = np.array([-3, -1, -2-1j, -2+1j]) / 3. >>> fsf = signal.place_poles(A, B, P, method='YT')
我们可以在复平面上绘制期望的和计算出的极点：
>>> t = np.linspace(0, 2*np.pi, 401) >>> plt.plot(np.cos(t), np.sin(t), 'k--') # unit circle >>> plt.plot(fsf.requested_poles.real, fsf.requested_poles.imag, ... 'wo', label='Desired') >>> plt.plot(fsf.computed_poles.real, fsf.computed_poles.imag, 'bx', ... label='Placed') >>> plt.grid() >>> plt.axis('image') >>> plt.axis([-1.1, 1.1, -1.1, 1.1]) >>> plt.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc=2, numpoints=1)
