scipy.sparse.linalg.

lsmr#

scipy.sparse.linalg.lsmr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, maxiter=None, show=False, x0=None)[源代码][源代码]#

用于最小二乘问题的迭代求解器。

lsmr 解决线性方程组 Ax = b。如果系统不一致，它解决最小二乘问题 min ||b - Ax||_2。A 是一个 m×n 的矩形矩阵，所有情况都允许：m = n，m > n，或 m < n。b 是一个长度为 m 的向量。矩阵 A 可以是密集的或稀疏的（通常是稀疏的）。

参数:
A{稀疏矩阵, ndarray, 线性算子}

线性系统中的矩阵 A。或者，A 可以是一个线性算子，它可以使用例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax 和 A^H x。

barray_like, 形状 (m,)

线性系统中的向量 b。

阻尼浮动

正则化最小二乘法的阻尼因子。lsmr 解决正则化最小二乘问题:

min ||(b) - (  A   )x||
    ||(0)   (damp*I) ||_2

其中 damp 是一个标量。如果 damp 为 None 或 0，则系统在无正则化的情况下求解。默认值为 0。

atol, btolfloat, 可选

停止容差。lsmr 会继续迭代，直到某个后向误差估计小于依赖于 atol 和 btol 的某个量。设 r = b - Ax 为当前近似解 x 的残差向量。如果 Ax = b 看起来是一致的，lsmr 在 norm(r) <= atol * norm(A) * norm(x) + btol * norm(b) 时终止。否则，lsmr 在 norm(A^H r) <= atol * norm(A) * norm(r) 时终止。如果两个容差都是 1.0e-6（默认值），最终的 norm(r) 应该精确到大约 6 位数字。（最终的 x 通常会有较少的正确数字，取决于 cond(A) 和 LAMBDA 的大小。）如果 atol 或 btol 为 None，将使用默认值 1.0e-6。理想情况下，它们应该是 A 和 b 条目中相对误差的估计值。例如，如果 A 的条目有 7 位正确数字，设置 atol = 1e-7。这防止算法在输入数据的不确定性之外做不必要的工作。

conlimfloat, 可选

lsmr 在估计的 cond(A) 超过 conlim 时终止。对于兼容系统 Ax = b，conlim 可以大到 1.0e+12（例如）。对于最小二乘问题，conlim 应小于 1.0e+8。如果 conlim 为 None，默认值为 1e+8。通过设置 atol = btol = conlim = 0 可以获得最大精度，但迭代次数可能会过多。默认值为 1e8。

maxiterint, 可选

lsmr 在迭代次数达到 maxiter 时终止。默认值为 maxiter = min(m, n)。对于病态系统，可能需要更大的 maxiter 值。默认值为 False。

显示bool, 可选

如果 show=True，则打印迭代日志。默认为 False。

x0类似数组，形状 (n,)，可选

x 的初始猜测，如果为 None 则使用零。默认为 None。

Added in version 1.0.0.

返回:
x浮点数 ndarray

返回最小二乘解。

istop整数

istop 给出停止的原因:

istop   = 0 means x=0 is a solution.  If x0 was given, then x=x0 is a
            solution.
        = 1 means x is an approximate solution to A@x = B,
            according to atol and btol.
        = 2 means x approximately solves the least-squares problem
            according to atol.
        = 3 means COND(A) seems to be greater than CONLIM.
        = 4 is the same as 1 with atol = btol = eps (machine
            precision)
        = 5 is the same as 2 with atol = eps.
        = 6 is the same as 3 with CONLIM = 1/eps.
        = 7 means ITN reached maxiter before the other stopping
            conditions were satisfied.
itn整数

使用的迭代次数。

normr浮动

norm(b-Ax)

normar浮动

norm(A^H (b - Ax))

norma浮动

norm(A)

conda浮动

A 的条件数。

normx浮动

norm(x)

注释

Added in version 0.11.0.

参考文献

[1]

D. C.-L. Fong and M. A. Saunders, “LSMR: An iterative algorithm for sparse least-squares problems”, SIAM J. Sci. Comput., vol. 33, pp. 2950-2971, 2011. arXiv:1006.0758

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import lsmr
>>> A = csc_matrix([[1., 0.], [1., 1.], [0., 1.]], dtype=float)

第一个例子有一个平凡的解 [0, 0]

>>> b = np.array([0., 0., 0.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
0
>>> x
array([0., 0.])

返回的停止代码 istop=0 表示找到了一个零向量作为解。返回的解 x 确实包含 [0., 0.]。下一个示例有一个非平凡解：

>>> b = np.array([1., 0., -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
1
>>> x
array([ 1., -1.])
>>> itn
1
>>> normr
4.440892098500627e-16

如 istop=1 所示，lsmr 找到了一个符合容差限制的解。给出的解 [1., -1.] 显然解决了方程。剩余的返回值包括关于迭代次数（itn=1）和已解方程左右两侧剩余差异的信息。最后一个例子展示了在方程无解情况下的行为：

>>> b = np.array([1., 0.01, -1.], dtype=float)
>>> x, istop, itn, normr = lsmr(A, b)[:4]
>>> istop
2
>>> x
array([ 1.00333333, -0.99666667])
>>> A.dot(x)-b
array([ 0.00333333, -0.00333333,  0.00333333])
>>> normr
0.005773502691896255

istop 表示系统不一致，因此 x 更接近于相应最小二乘问题的近似解。normr 包含了找到的最小距离。

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