scipy.sparse.linalg.

特征值

scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)

找到方阵 A 的 k 个特征值和特征向量。

求解 A @ x[i] = w[i] * x[i]，即 w[i] 特征值及其对应特征向量 x[i] 的标准特征值问题。

如果指定了 M，则求解 A @ x[i] = w[i] * M @ x[i]，即 w[i] 特征值及其对应特征向量 x[i] 的广义特征值问题。

参数:

Andarray、稀疏矩阵或线性算子

一个数组、稀疏矩阵或表示运算 A @ x 的线性算子，其中 A 是一个实数或复数的方阵。

kint, 可选

所需的特征值和特征向量的数量。k 必须小于 N-1。无法计算矩阵的所有特征向量。

Mndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

表示广义特征值问题中操作 M@x 的数组、稀疏矩阵或线性算子

A @ x = w * M @ x.

如果 A 是实数，M 必须表示一个实对称矩阵；如果 A 是复数，M 必须表示一个复数厄米矩阵。为了获得最佳结果，M 的数据类型应与 A 的数据类型相同。此外：

如果 sigma 是 None，M 是正定矩阵

如果指定了 sigma，M 是半正定的。

如果 sigma 为 None，eigs 需要一个算子来计算线性方程 M @ x = b 的解。这可以通过显式矩阵 M 的（稀疏）LU 分解，或通过一般线性算子的迭代求解器在内部完成。或者，用户可以提供矩阵或算子 Minv，它给出 x = Minv @ b = M^-1 @ b。

sigma实数或复数，可选

使用移位-反转变换模式查找接近sigma的特征值。这需要一个算子来计算线性系统 [A - sigma * M] @ x = b 的解，其中如果未指定，M是单位矩阵。这是通过内部计算的（稀疏）LU分解来实现的，对于显式矩阵A和M，或者通过迭代求解器来实现，如果A或M是广义线性算子。或者，用户可以提供矩阵或算子OPinv，它给出 x = OPinv @ b = [A - sigma * M]^-1 @ b。对于实矩阵A，移位-反转变换可以在虚模式或实模式下完成，由参数OPpart（’r’或’i’）指定。请注意，当指定sigma时，关键字’which’（如下）指的是移位的特征值 w'[i] 其中：

如果 A 是实数且 OPpart == ‘r’（默认），

w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是实数且 OPpart == ‘i’，

w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].

如果 A 是复数，w'[i] = 1/(w[i]-sigma)。

v0ndarray，可选

迭代起始向量。默认值：随机

ncvint, 可选

生成的Lanczos向量数量 ncv 必须大于 k；建议 ncv > 2*k。默认值：min(n, max(2*k + 1, 20))

哪个str, [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LR’ | ‘SR’ | ‘LI’ | ‘SI’], 可选

要找到哪些 k 个特征向量和特征值：

‘LM’ : 最大幅值

‘SM’ : 最小量级

‘LR’ : 最大实部

‘SR’ : 最小实部

‘LI’ : 最大虚部

‘SI’ : 最小的虚部

当 sigma != None 时，’which’ 指的是移位后的特征值 w’[i]（参见上文 ‘sigma’ 的讨论）。ARPACK 通常更擅长找到大值而不是小值。如果需要小特征值，考虑使用移位-反演模式以获得更好的性能。

maxiterint, 可选

允许的最大Arnoldi更新迭代次数 默认值: n*10

tolfloat, 可选

特征值的相对精度（停止准则） 默认值为0，表示机器精度。

return_eigenvectorsbool, 可选

返回特征向量（True）以及特征值

Minvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

参见上方 M 中的注释。

OPinvndarray、稀疏矩阵或 LinearOperator，可选

参见上方 sigma 中的注释。

OPpart{‘r’ 或 ‘i’}, 可选

参见上方sigma中的注释

返回:

wndarray

k 个特征值的数组。

vndarray

一个包含 k 个特征向量的数组。v[:, i] 是对应于特征值 w[i] 的特征向量。

Raises:

ArpackNoConvergence

当未达到请求的收敛时。当前已收敛的特征值和特征向量可以在异常对象的 eigenvalues 和 eigenvectors 属性中找到。

参见

eigsh

对称矩阵 A 的特征值和特征向量

svds

矩阵 A 的奇异值分解

注释

此函数是对 ARPACK [1] SNEUPD, DNEUPD, CNEUPD, ZNEUPD 函数的封装，这些函数使用隐式重启 Arnoldi 方法来寻找特征值和特征向量 [2]。

参考文献

[1]

ARPACK 软件, opencollab/arpack-ng

[2]

R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen, and C. Yang, ARPACK USERS GUIDE: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems by Implicitly Restarted Arnoldi Methods. SIAM, Philadelphia, PA, 1998.

示例

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找到单位矩阵的6个特征向量：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)

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