scipy.sparse.linalg.

tfqmr#

scipy.sparse.linalg.tfqmr(A, b, x0=None, *, rtol=1e-05, atol=0.0, maxiter=None, M=None, callback=None, show=False)[源代码][源代码]#

使用无转置准最小残差迭代法来求解 Ax = b。

参数:
A{稀疏矩阵, ndarray, 线性算子}

线性系统的实数或复数 N×N 矩阵。或者，A 可以是一个线性算子，它可以通过例如 scipy.sparse.linalg.LinearOperator 生成 Ax。

b{ndarray}

线性系统的右侧。形状为 (N,) 或 (N,1)。

x0{ndarray}

解决方案的初始猜测。

rtol, atolfloat, 可选

收敛测试的参数。为了收敛，norm(b - A @ x) <= max(rtol*norm(b), atol) 应该被满足。默认值为 rtol=1e-5，atol 的默认值为 0.0。

maxiterint, 可选

最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也将在 maxiter 步后停止。默认值为 min(10000, ndofs * 10)，其中 ndofs = A.shape[0]。

M{稀疏矩阵, ndarray, 线性算子}

A 的预处理器的逆。M 应近似 A 的逆，并且易于求解（参见注释）。有效的预处理显著提高了收敛速度，这意味着达到给定误差容限所需的迭代次数更少。默认情况下，不使用预处理器。

回调函数, 可选

用户提供的函数，在每次迭代后调用。它以 callback(xk) 的形式调用，其中 xk 是当前的解向量。

显示bool, 可选

指定 show = True 以显示收敛情况，show = False 是关闭收敛输出。默认值为 False。

返回:
xndarray

融合的解决方案。

信息整数

提供收敛信息：

  • 0 : 成功退出

  • >0 : 未达到容差收敛，迭代次数

  • <0 : 非法输入或中断

注释

无转置QMR算法源自CGS算法。然而，与CGS不同，TFQMR方法的收敛曲线通过计算残差范数的准最小化来平滑。该实现支持左预条件器，并且在收敛准则中计算的“残差范数”实际上是实际残差范数 ||b - Axk|| 的上限。

参考文献

[1]

R. W. Freund, A Transpose-Free Quasi-Minimal Residual Algorithm for Non-Hermitian Linear Systems, SIAM J. Sci. Comput., 14(2), 470-482, 1993.

[2]

Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, Philadelphia, 2003.

[3]

C. T. Kelley, Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations, number 16 in Frontiers in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1995.

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csc_matrix
>>> from scipy.sparse.linalg import tfqmr
>>> A = csc_matrix([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]], dtype=float)
>>> b = np.array([2, 4, -1], dtype=float)
>>> x, exitCode = tfqmr(A, b, atol=0.0)
>>> print(exitCode)            # 0 indicates successful convergence
0
>>> np.allclose(A.dot(x), b)
True
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