scipy.special.betainc#

scipy.special.betainc(a, b, x, out=None) = <ufunc 'betainc'>#

正则化不完全贝塔函数。

计算正则化的不完全贝塔函数，定义为 [1]：

\[I_x(a, b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt,\]

对于 \(0 \leq x \leq 1\)。

此函数是 beta 分布的累积分布函数；其范围是 [0, 1]。

参数:

a, barray_like: 正实值参数
xarray_like: 实数，使得 \(0 \leq x \leq 1\)，积分的上限
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或ndarray: 正则化不完全贝塔函数的值

参见

beta: beta 函数
betaincinv: 正则化不完全贝塔函数的逆函数
betaincc: 正则化不完全贝塔函数的补函数
scipy.stats.beta: beta 分布

注释

这个函数名称中的术语 regularized 指的是通过公式中显示的伽马函数项对函数进行缩放。当没有限定为 regularized 时，名称 incomplete beta function 通常仅指积分表达式，不包括伽马项。可以通过将 betainc(a, b, x) 的结果乘以 beta(a, b) 来使用 scipy.special 中的函数 beta 获取这个“非正则化”的不完全贝塔函数。

参考文献

[1]

NIST 数学函数数字图书馆 https://dlmf.nist.gov/8.17

示例

设 \(B(a, b)\) 为 beta 函数。

>>> import scipy.special as sc

在 gamma 的系数等于 \(1/B(a, b)\)。此外，当 \(x=1\) 时，积分等于 \(B(a, b)\)。因此，对于任何 \(a, b\)，\(I_{x=1}(a, b) = 1\)。

>>> sc.betainc(0.2, 3.5, 1.0)
1.0

它满足 \(I_x(a, b) = x^a F(a, 1-b, a+1, x)/ (aB(a, b))\)，其中 \(F\) 是超几何函数 hyp2f1：

>>> a, b, x = 1.4, 3.1, 0.5
>>> x**a * sc.hyp2f1(a, 1 - b, a + 1, x)/(a * sc.beta(a, b))
0.8148904036225295
>>> sc.betainc(a, b, x)
0.8148904036225296

此函数满足关系式 \(I_x(a, b) = 1 - I_{1-x}(b, a)\)：

>>> sc.betainc(2.2, 3.1, 0.4)
0.49339638807619446
>>> 1 - sc.betainc(3.1, 2.2, 1 - 0.4)
0.49339638807619446