scipy.special.hyp2f1#

scipy.special.hyp2f1(a, b, c, z, out=None) = <ufunc 'hyp2f1'>#

高斯超几何函数 2F1(a, b; c; z)

参数:

a, b, carray_like: 参数应为实数值。
zarray_like: 参数，实数或复数。
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

hyp2f1标量或ndarray: 高斯超几何函数的值。

参见

hyp0f1: 共轭超几何极限函数。
hyp1f1: 库默尔（合流超几何）函数。

注释

此函数定义为 \(|z| < 1\) 时

\[\mathrm{hyp2f1}(a, b, c, z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n}\frac{z^n}{n!},\]

并通过解析延拓在复数z平面的其余部分上定义 [1]。这里 \((\cdot)_n\) 是Pochhammer符号；参见 poch。当 \(n\) 是整数时，结果是一个次数为 \(n\) 的多项式。

对于 z 的复杂值的实现，在 [2] 中有描述，除了在由定义的区域中的 z 之外。

\[0.9 <= \left|z\right| < 1.1, \left|1 - z\right| >= 0.9, \mathrm{real}(z) >= 0\]

其中实现遵循 [4]。

参考文献

[1]

NIST 数学函数数字图书馆 https://dlmf.nist.gov/15.2

[2]

Zhang 和 J.M. Jin, “特殊函数的计算”, Wiley 1996

[3]

Cephes 数学函数库, http://www.netlib.org/cephes/

[4]

J.L. Lopez 和 N.M. Temme，“高斯超几何函数的新级数展开”，Adv Comput Math 39, 349-365 (2013). https://doi.org/10.1007/s10444-012-9283-y

示例

>>> import numpy as np
>>> import scipy.special as sc

当 c 为负整数时，它有极点。

>>> sc.hyp2f1(1, 1, -2, 1)
inf

当 a 或 b 为负整数时，它是一个多项式。

>>> a, b, c = -1, 1, 1.5
>>> z = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, c, z)
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])
>>> 1 + a * b * z / c
array([1.        , 0.83333333, 0.66666667, 0.5       , 0.33333333])

它在 a 和 b 中是对称的。

>>> a = np.linspace(0, 1, 5)
>>> b = np.linspace(0, 1, 5)
>>> sc.hyp2f1(a, b, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])
>>> sc.hyp2f1(b, a, 1, 0.5)
array([1.        , 1.03997334, 1.1803406 , 1.47074441, 2.        ])

它包含许多其他功能作为特殊情况。

>>> z = 0.5
>>> sc.hyp2f1(1, 1, 2, z)
1.3862943611198901
>>> -np.log(1 - z) / z
1.3862943611198906

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, z**2)
1.098612288668109
>>> np.log((1 + z) / (1 - z)) / (2 * z)
1.0986122886681098

>>> sc.hyp2f1(0.5, 1, 1.5, -z**2)
0.9272952180016117
>>> np.arctan(z) / z
0.9272952180016122