scipy.special.binom#

scipy.special.binom(x, y, out=None) = <ufunc 'binom'>#

二项式系数被视为两个实变量的函数。

对于实际参数，二项式系数定义为

\[\binom{x}{y} = \frac{\Gamma(x + 1)}{\Gamma(y + 1)\Gamma(x - y + 1)} = \frac{1}{(x + 1)\mathrm{B}(x - y + 1, y + 1)}\]

其中 \(\Gamma\) 是 Gamma 函数 (gamma)，而 \(\mathrm{B}\) 是 Beta 函数 (beta) [1]。

参数:

x, y: array_like: 对 \(\binom{x}{y}\) 的实际参数。
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或ndarray: 二项式系数的值。

参见

comb: 从N个事物中每次取k个的组合数。

注释

Gamma 函数在非正整数处有极点，并且根据从实数轴的哪个方向接近极点，趋向于正无穷或负无穷。当被视为两个实变量的函数时，\(\binom{x}{y}\) 在 x 为负整数时是未定义的。当 x 为负整数时，binom 返回 nan。即使 x 是负整数且 y 是整数，这也是成立的，这与通常将 \(\binom{n}{k}\) 视为两个整数变量的函数时的定义惯例相反。

参考文献

[1]

https://en.wikipedia.org/wiki/二项式系数

示例

以下示例展示了 binom 与函数 comb 的不同之处。

>>> from scipy.special import binom, comb

当 exact=False 且 x 和 y 均为正数时，comb 内部调用 binom。

>>> x, y = 3, 2
>>> (binom(x, y), comb(x, y), comb(x, y, exact=True))
(3.0, 3.0, 3)

对于较大的值，comb 与 exact=True 不再与 binom 一致。

>>> x, y = 43, 23
>>> (binom(x, y), comb(x, y), comb(x, y, exact=True))
(960566918219.9999, 960566918219.9999, 960566918220)

binom 当 x 是负整数时返回 nan，但对于负参数在其他情况下是定义的。comb 当 x 或 y 为负数或 x 小于 y 时返回 0。

>>> x, y = -3, 2
>>> (binom(x, y), comb(x, y))
(nan, 0.0)

>>> x, y = -3.1, 2.2
>>> (binom(x, y), comb(x, y))
(18.714147876804432, 0.0)

>>> x, y = 2.2, 3.1
>>> (binom(x, y), comb(x, y))
(0.037399983365134115, 0.0)