scipy.special.elliprd

scipy.special.elliprd(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprd'>

第二类对称椭圆积分。

函数 RD 定义为 [1]。

\[R_{\mathrm{D}}(x, y, z) = \frac{3}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y)]^{-1/2} (t + z)^{-3/2} dt\]

参数:

x, y, zarray_like

实数或复数输入参数。x 或 y 可以是复平面中沿负实轴切割的任意数字，但最多只能有一个为零，而 z 必须为非零。

出ndarray，可选

函数值的可选输出数组

返回:

R标量或ndarray

积分值。如果 x、y 和 z 都是实数，返回值为实数。否则，返回值为复数。

参见

elliprc

退化的对称椭圆积分。

elliprf

第一类完全对称椭圆积分。

elliprg

完全对称的第二类椭圆积分。

elliprj

第三类对称椭圆积分。

注释

RD 是椭圆积分 RJ 的退化情况：elliprd(x, y, z) == elliprj(x, y, z, z)。

该代码基于重复定理和最高至7阶的级数展开，实现了Carlson算法。 [2]

Added in version 1.8.0.

参考文献

[1]

B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E5

[2]

B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

示例

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基本均匀性性质：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprd

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprd(scale*x, scale*y, scale*z)
(-0.03703043835680379-0.24500934665683802j)

>>> elliprd(x, y, z)*np.power(scale, -1.5)
(-0.0370304383568038-0.24500934665683805j)

所有三个参数一致：

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprd(x, x, x)
(-0.03986825876151896-0.14051741840449586j)

>>> np.power(x, -1.5)
(-0.03986825876151894-0.14051741840449583j)

所谓的“第二双纽线常数”：

>>> elliprd(0, 2, 1)/3
0.5990701173677961

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.75)**2/np.sqrt(2*np.pi)
0.5990701173677959

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