scipy.special.elliprf

scipy.special.elliprf(x, y, z, out=None) = <ufunc 'elliprf'>

第一类完全对称椭圆积分。

函数 RF 定义为 [1]

\[R_{\mathrm{F}}(x, y, z) = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} [(t + x) (t + y) (t + z)]^{-1/2} dt\]

参数:

x, y, zarray_like

实数或复数输入参数。x, y, 或 z 可以是复平面中沿负实轴切割的任意数字，但最多只能有一个为零。

出ndarray，可选

函数值的可选输出数组

返回:

R标量或ndarray

积分值。如果 x、y 和 z 都是实数，返回值为实数。否则，返回值为复数。

参见

elliprc

退化的对称积分。

elliprd

第二类对称椭圆积分。

elliprg

完全对称的第二类椭圆积分。

elliprj

第三类对称椭圆积分。

注释

该代码基于重复定理和最高至7阶的级数展开（参见：https://dlmf.nist.gov/19.36.i）以及用于完全积分的AGM算法实现了Carlson算法。[2]

Added in version 1.8.0.

参考文献

[1]

B. C. Carlson, ed., Chapter 19 in “Digital Library of Mathematical Functions,” NIST, US Dept. of Commerce. https://dlmf.nist.gov/19.16.E1

[2]

B. C. Carlson, “Numerical computation of real or complex elliptic integrals,” Numer. Algorithm, vol. 10, no. 1, pp. 13-26, 1995. https://arxiv.org/abs/math/9409227 https://doi.org/10.1007/BF02198293

示例

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基本均匀性性质：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import elliprf

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> y = 5.
>>> z = 6.
>>> scale = 0.3 + 0.4j
>>> elliprf(scale*x, scale*y, scale*z)
(0.5328051227278146-0.4008623567957094j)

>>> elliprf(x, y, z)/np.sqrt(scale)
(0.5328051227278147-0.4008623567957095j)

所有三个参数一致：

>>> x = 1.2 + 3.4j
>>> elliprf(x, x, x)
(0.42991731206146316-0.30417298187455954j)

>>> 1/np.sqrt(x)
(0.4299173120614631-0.30417298187455954j)

所谓的“第一双纽线常数”：

>>> elliprf(0, 1, 2)
1.3110287771460598

>>> from scipy.special import gamma
>>> gamma(0.25)**2/(4*np.sqrt(2*np.pi))
1.3110287771460598

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