scipy.special.
雅可比#
- scipy.special.jacobi(n, alpha, beta, monic=False)[源代码][源代码]#
雅可比多项式。
定义为的解
\[(1 - x^2)\frac{d^2}{dx^2}P_n^{(\alpha, \beta)} + (\beta - \alpha - (\alpha + \beta + 2)x) \frac{d}{dx}P_n^{(\alpha, \beta)} + n(n + \alpha + \beta + 1)P_n^{(\alpha, \beta)} = 0\]对于 \(\alpha, \beta > -1\)；\(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 是一个次数为 \(n\) 的多项式。
- 参数:
- n整数
多项式的次数。
- alpha浮动
参数，必须大于 -1。
- beta浮动
参数，必须大于 -1。
- monicbool, 可选
如果 True，将首项系数缩放为 1。默认是 False。
- 返回:
- Porthopoly1d
雅可比多项式。
注释
对于固定的 \(\alpha, \beta\)，多项式 \(P_n^{(\alpha, \beta)}\) 在区间 \([-1, 1]\) 上与权重函数 \((1 - x)^\alpha(1 + x)^\beta\) 正交。
参考文献
[AS]Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编。《带有公式、图表和数学表格的数学函数手册》。纽约：Dover，1972年。
示例
雅可比多项式满足递推关系：
\[P_n^{(\alpha, \beta-1)}(x) - P_n^{(\alpha-1, \beta)}(x) = P_{n-1}^{(\alpha, \beta)}(x)\]例如，这可以验证为 \(\alpha = \beta = 2\) 和 \(n = 1\) 在区间 \([-1, 1]\) 上：
>>> import numpy as np >>> from scipy.special import jacobi >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> np.allclose(jacobi(0, 2, 2)(x), ... jacobi(1, 2, 1)(x) - jacobi(1, 1, 2)(x)) True
Jacobi多项式 \(P_5^{(\alpha, -0.5)}\) 在不同 \(\alpha\) 值下的图像：
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01) >>> fig, ax = plt.subplots() >>> ax.set_ylim(-2.0, 2.0) >>> ax.set_title(r'Jacobi polynomials $P_5^{(\alpha, -0.5)}$') >>> for alpha in np.arange(0, 4, 1): ... ax.plot(x, jacobi(5, alpha, -0.5)(x), label=rf'$\alpha={alpha}$') >>> plt.legend(loc='best') >>> plt.show()
