scipy.special.

laguerre

scipy.special.laguerre(n, monic=False)

拉盖尔多项式。

定义为的解

\[x\frac{d^2}{dx^2}L_n + (1 - x)\frac{d}{dx}L_n + nL_n = 0;\]

\(L_n\) 是一个次数为 \(n\) 的多项式。

参数:

n整数

多项式的次数。

monicbool, 可选

如果 True，将首项系数缩放为 1。默认是 False。

返回:

Lorthopoly1d

拉盖尔多项式。

参见

genlaguerre

广义（相关）拉盖尔多项式。

注释

多项式 \(L_n\) 在区间 \([0, \infty)\) 上与权重函数 \(e^{-x}\) 正交。

参考文献

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编。《带有公式、图表和数学表格的数学函数手册》。纽约：Dover，1972年。

示例

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拉盖尔多项式 \(L_n\) 是广义拉盖尔多项式 \(L_n^{(\alpha)}\) 在 \(\alpha = 0\) 时的特例。让我们在区间 \([-1, 1]\) 上验证这一点：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import genlaguerre
>>> from scipy.special import laguerre
>>> x = np.arange(-1.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(genlaguerre(3, 0)(x), laguerre(3)(x))
True

多项式 \(L_n\) 也满足递推关系：

\[(n + 1)L_{n+1}(x) = (2n +1 -x)L_n(x) - nL_{n-1}(x)\]

这可以在 \([0, 1]\) 上很容易地检查，其中 \(n = 3\)：

>>> x = np.arange(0.0, 1.0, 0.01)
>>> np.allclose(4 * laguerre(4)(x),
...             (7 - x) * laguerre(3)(x) - 3 * laguerre(2)(x))
True

这是前几个拉盖尔多项式的图像 \(L_n\):

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(-1.0, 5.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-5.0, 5.0)
>>> ax.set_title(r'Laguerre polynomials $L_n$')
>>> for n in np.arange(0, 5):
...     ax.plot(x, laguerre(n)(x), label=rf'$L_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()

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