scipy.special.jv#

scipy.special.jv(v, z, out=None) = <ufunc 'jv'>#

第一类贝塞尔函数的实数阶和复数参数。

参数:

varray_like: 顺序 (浮点数)。
zarray_like: 参数（浮点数或复数）。
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

J标量或ndarray: 贝塞尔函数的值，\(J_v(z)\)。

参见

jve: \(J_v\) 去除了前导指数行为。
spherical_jn: 球贝塞尔函数。
j0: 此函数的更快版本，适用于阶数为0的情况。
j1: 此函数的更快版本，适用于阶数1。

注释

对于正值 v，计算是通过使用 AMOS [1] zbesj 例程进行的，该例程利用了与修正贝塞尔函数 \(I_v\) 的连接。

\[ \begin{align}\begin{aligned}J_v(z) = \exp(v\pi\imath/2) I_v(-\imath z)\qquad (\Im z > 0)\\J_v(z) = \exp(-v\pi\imath/2) I_v(\imath z)\qquad (\Im z < 0)\end{aligned}\end{align} \]

对于负的 v 值，公式，

\[J_{-v}(z) = J_v(z) \cos(\pi v) - Y_v(z) \sin(\pi v)\]

使用时，其中 \(Y_v(z)\) 是第二类贝塞尔函数，通过 AMOS 例程 zbesy 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高准确性，对于 v 值使得 v = floor(v) 的情况，第二项被显式省略。

不要与球贝塞尔函数混淆（参见 spherical_jn）。

参考文献

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, 一个用于复数参数和非负阶贝塞尔函数的便携式软件包”, http://netlib.org/amos/

示例

在一点处评估0阶函数的功能。

>>> from scipy.special import jv
>>> jv(0, 1.)
0.7651976865579666

在不同阶数下评估函数在某一点的结果。

>>> jv(0, 1.), jv(1, 1.), jv(1.5, 1.)
(0.7651976865579666, 0.44005058574493355, 0.24029783912342725)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中进行不同阶数的评估：

>>> jv([0, 1, 1.5], 1.)
array([0.76519769, 0.44005059, 0.24029784])

通过为 z 提供一个数组，在多个点上评估阶数为0的函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> jv(0, points)
array([ 0.22389078,  1.        , -0.26005195])

如果 z 是一个数组，参数 v 必须能够广播到正确的形状，如果在一个调用中计算不同的阶数。要计算一个一维数组的阶数 0 和 1：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> jv(orders, points)
array([[ 0.22389078,  1.        , -0.26005195],
       [-0.57672481,  0.        ,  0.33905896]])

绘制从 -10 到 10 的 0 到 3 阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-10., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, jv(i, x), label=f'$J_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()