scipy.special.spence

scipy.special.spence(z, out=None) = <ufunc 'spence'>

Spence 函数，也称为双对数函数。

它被定义为

\[\int_1^z \frac{\log(t)}{1 - t}dt\]

对于复数 \(z\) ，其中积分路径被选择以避开对数的分支割线。Spence 函数在除了负实轴（在那里它有一个分支割线）之外的任何地方都是解析的。

参数:

zarray_like

评估Spence函数的点

出ndarray，可选

函数结果的可选输出数组

返回:

s标量或ndarray

Spence 函数的计算值

注释

有一种不同的约定，通过积分来定义Spence函数。

\[-\int_0^z \frac{\log(1 - t)}{t}dt;\]

这是我们的 spence(1 - z)。

示例

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>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import spence
>>> import matplotlib.pyplot as plt

该函数是为复数输入定义的：

>>> spence([1-1j, 1.5+2j, 3j, -10-5j])
array([-0.20561676+0.91596559j, -0.86766909-1.39560134j,
       -0.59422064-2.49129918j, -1.14044398+6.80075924j])

对于分支切割上的复杂输入，即负实轴，该函数返回 z 具有正虚部的极限。例如，在下文中，注意输出中虚部的符号变化，对于 z = -2 和 z = -2 - 1e-8j：

>>> spence([-2 + 1e-8j, -2, -2 - 1e-8j])
array([2.32018041-3.45139229j, 2.32018042-3.4513923j ,
       2.32018041+3.45139229j])

该函数在分支切割上对实数输入返回 nan：

>>> spence(-1.5)
nan

验证某些特定值：spence(0) = pi**2/6，spence(1) = 0 和 spence(2) = -pi**2/12。

>>> spence([0, 1, 2])
array([ 1.64493407,  0.        , -0.82246703])
>>> np.pi**2/6, -np.pi**2/12
(1.6449340668482264, -0.8224670334241132)

验证身份:

spence(z) + spence(1 - z) = pi**2/6 - log(z)*log(1 - z)

>>> z = 3 + 4j
>>> spence(z) + spence(1 - z)
(-2.6523186143876067+1.8853470951513935j)
>>> np.pi**2/6 - np.log(z)*np.log(1 - z)
(-2.652318614387606+1.885347095151394j)

绘制正实数输入的函数。

>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0, 6, 400)
>>> ax.plot(x, spence(x))
>>> ax.grid()
>>> ax.set_xlabel('x')
>>> ax.set_title('spence(x)')
>>> plt.show()

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