scipy.stats.

期望值#

scipy.stats.expectile(a, alpha=0.5, *, weights=None)[源代码][源代码]#

计算指定水平下的期望值。

期望值（Expectiles）是期望的一种推广，就像分位数是中位数的一种推广。在水平 alpha = 0.5 处的期望值是均值（平均值）。更多详情请参见注释。

参数:

aarray_like: 包含所需期望值的数字数组。
alphafloat, 默认值: 0.5: 期望水平的级别；例如，alpha=0.5 给出均值。
权重类似数组, 可选: 与 a 中的值相关联的权重数组。weights 必须能够广播到与 a 相同的形状。默认值为 None，即每个值的权重为 1.0。整数值的权重元素相当于将 a 中对应的观测值重复那么多次。更多详情请参见注释。

返回:

期望值ndarray: 在水平 alpha 上的经验期望值。

参见

numpy.mean: 算术平均数
numpy.quantile: 分位数

注释

一般来说，随机变量 \(X\) 在累积分布函数 (CDF) \(F\) 下的水平 \(\alpha\) 的期望值由以下唯一解 \(t\) 给出：

\[\alpha E((X - t)_+) = (1 - \alpha) E((t - X)_+) \,.\]

这里，\((x)_+ = \max(0, x)\) 是 \(x\) 的正部。这个方程可以等价地写成：

\[\alpha \int_t^\infty (x - t)\mathrm{d}F(x) = (1 - \alpha) \int_{-\infty}^t (t - x)\mathrm{d}F(x) \,.\]

在水平 \(\alpha\) (alpha) 上的经验期望值 \(a_i`（数组 `a\)）是通过插入 a 的经验累积分布函数（CDF）来定义的。给定样本或案例权重 \(w`（数组 `weights\)），它表示为 \(F_a(x) = \frac{1}{\sum_i w_i} \sum_i w_i 1_{a_i \leq x}\)，其中指示函数为 \(1_{A}\)。这导致了在水平 alpha 上的经验期望值的定义为唯一解 \(t\)：

\[\alpha \sum_{i=1}^n w_i (a_i - t)_+ = (1 - \alpha) \sum_{i=1}^n w_i (t - a_i)_+ \,.\]

对于 \(\alpha=0.5\)，这简化为加权平均。此外，\(\alpha\) 越大，期望值的值越大。

最后，在水平 \(\alpha\) 处的期望值也可以写成一个最小化问题。一个常用的选择是

\[\operatorname{argmin}_t E(\lvert 1_{t\geq X} - \alpha\rvert(t - X)^2) \,.\]

参考文献

[1]

W. K. Newey and J. L. Powell (1987), “Asymmetric Least Squares Estimation and Testing,” Econometrica, 55, 819-847.

[2]

T. Gneiting (2009). “Making and Evaluating Point Forecasts,” Journal of the American Statistical Association, 106, 746 - 762. DOI:10.48550/arXiv.0912.0902

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import expectile
>>> a = [1, 4, 2, -1]
>>> expectile(a, alpha=0.5) == np.mean(a)
True
>>> expectile(a, alpha=0.2)
0.42857142857142855
>>> expectile(a, alpha=0.8)
2.5714285714285716
>>> weights = [1, 3, 1, 1]