scipy.stats.学生化范围

scipy.stats.studentized_range = <scipy.stats._continuous_distns.studentized_range_gen object>

学生化范围连续随机变量。

作为 rv_continuous 类的一个实例，studentized_range 对象继承了它的一系列通用方法（完整列表见下文），并根据此特定分布的细节进行了补充。

方法

rvs(k, df, loc=0, scale=1, size=1, random_state=None)	随机变量。
pdf(x, k, df, loc=0, scale=1)	概率密度函数。
logpdf(x, k, df, loc=0, scale=1)	概率密度函数的对数。
cdf(x, k, df, loc=0, scale=1)	累积分布函数。
logcdf(x, k, df, loc=0, scale=1)	累积分布函数的对数。
sf(x, k, df, loc=0, scale=1)	生存函数 (也定义为 1 - cdf，但 sf 有时更精确)。
logsf(x, k, df, loc=0, scale=1)	生存函数的对数。
ppf(q, k, df, loc=0, scale=1)	百分点函数（cdf 的逆函数 — 百分位数）。
isf(q, k, df, loc=0, scale=1)	逆生存函数（sf 的逆函数）。
moment(order, k, df, loc=0, scale=1)	指定阶数的非中心矩。
stats(k, df, loc=0, scale=1, moments=’mv’)	均值(‘m’)、方差(‘v’)、偏度(‘s’) 和/或 峰度(‘k’)。
entropy(k, df, loc=0, scale=1)	（微分）随机变量的熵。
fit(data)	通用数据的参数估计。有关关键字参数的详细文档，请参见 scipy.stats.rv_continuous.fit 。
expect(func, args=(k, df), loc=0, scale=1, lb=None, ub=None, conditional=False, **kwds)	函数（单参数）相对于分布的期望值。
median(k, df, loc=0, scale=1)	分布的中位数。
mean(k, df, loc=0, scale=1)	分布的均值。
var(k, df, loc=0, scale=1)	分布的方差。
std(k, df, loc=0, scale=1)	分布的标准差。
interval(confidence, k, df, loc=0, scale=1)	在中位数周围等面积的置信区间。

参见

t

学生 t 分布

注释

studentized_range 的概率密度函数为：

\[f(x; k, \nu) = \frac{k(k-1)\nu^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2) 2^{\nu/2-1}} \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} s^{\nu} e^{-\nu s^2/2} \phi(z) \phi(sx + z) [\Phi(sx + z) - \Phi(z)]^{k-2} \,dz \,ds\]

对于 \(x ≥ 0\), \(k > 1\), 以及 :math:` u > 0`。

studentized_range 接受 k 作为 \(k\) 和 df 作为 \(\nu\) 的形状参数。

当 \(\nu\) 超过 100,000 时，使用渐近近似（无限自由度）来计算累积分布函数 [4] 和概率分布函数。

上述概率密度是以“标准化”形式定义的。要移动和/或缩放分布，请使用 loc 和 scale 参数。具体来说，studentized_range.pdf(x, k, df, loc, scale) 完全等同于 studentized_range.pdf(y, k, df) / scale，其中 y = (x - loc) / scale。请注意，移动分布的位置并不会使其成为“非中心”分布；某些分布的非中心泛化版本可在单独的类中获得。

参考文献

[1]

“学生化范围分布”, https://en.wikipedia.org/wiki/Studentized_range_distribution

[2]

Batista, Ben Dêivide 等人。“外部学生化正态中距分布。”《Ciência e Agrotecnologia》，第41卷，第4期，2017年，第378-389页，doi:10.1590/1413-70542017414047716。

[3]

Harter, H. Leon. “范围和学生化范围表.” 《数理统计年鉴》, 第31卷, 第4期, 1960年, 第1122-1147页. JSTOR, www.jstor.org/stable/2237810. 访问于2021年2月18日.

[4]

Lund, R. E., 和 J. R. Lund. “算法 AS 190: 学生化范围的概率和上分位数.” 皇家统计学会杂志. C 辑 (应用统计), 第 32 卷, 第 2 期, 1983 年, 第 204-210 页. JSTOR, www.jstor.org/stable/2347300. 访问于 2021 年 2 月 18 日.

示例

Try it in your browser!

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import studentized_range
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots(1, 1)

显示概率密度函数 (pdf)：

>>> k, df = 3, 10
>>> x = np.linspace(studentized_range.ppf(0.01, k, df),
...                 studentized_range.ppf(0.99, k, df), 100)
>>> ax.plot(x, studentized_range.pdf(x, k, df),
...         'r-', lw=5, alpha=0.6, label='studentized_range pdf')

或者，分布对象可以被调用（作为一个函数）来固定形状、位置和尺度参数。这将返回一个持有给定参数固定的“冻结”RV对象。

冻结分发并显示冻结的 pdf：

>>> rv = studentized_range(k, df)
>>> ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf')

检查 cdf 和 ppf 的准确性：

>>> vals = studentized_range.ppf([0.001, 0.5, 0.999], k, df)
>>> np.allclose([0.001, 0.5, 0.999], studentized_range.cdf(vals, k, df))
True

与其使用 (studentized_range.rvs) 来生成随机变量，对于这种分布来说速度非常慢，我们可以使用插值器来近似逆CDF，然后使用这个近似的逆CDF进行逆变换采样。

这个分布有一个无限但薄的右尾，所以我们把注意力集中在最左边的99.9%。

>>> a, b = studentized_range.ppf([0, .999], k, df)
>>> a, b
0, 7.41058083802274

>>> from scipy.interpolate import interp1d
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> xs = np.linspace(a, b, 50)
>>> cdf = studentized_range.cdf(xs, k, df)
# Create an interpolant of the inverse CDF
>>> ppf = interp1d(cdf, xs, fill_value='extrapolate')
# Perform inverse transform sampling using the interpolant
>>> r = ppf(rng.uniform(size=1000))

并比较直方图：

>>> ax.hist(r, density=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2)
>>> ax.legend(loc='best', frameon=False)
>>> plt.show()

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