scipy.stats.vonmises_fisher

scipy.stats.vonmises_fisher = <scipy.stats._multivariate.vonmises_fisher_gen object>

von Mises-Fisher 变量。

mu 关键字指定平均方向向量。kappa 关键字指定浓度参数。

参数:

muarray_like

分布的平均方向。必须是一个一维的单位向量，范数为1。

kappa浮动

集中参数。必须为正数。

种子{None, int, np.random.RandomState, np.random.Generator}, 可选

用于绘制随机变量。如果 seed 是 None，则使用 RandomState 单例。如果 seed 是整数，则使用新的 RandomState 实例，并以 seed 为种子。如果 seed 已经是 RandomState 或 Generator 实例，则使用该对象。默认值为 None。

方法

pdf(x, mu=None, kappa=1)	概率密度函数。
logpdf(x, mu=None, kappa=1)	概率密度函数的对数。
rvs(mu=None, kappa=1, size=1, random_state=None)	从 von Mises-Fisher 分布中抽取随机样本。
entropy(mu=None, kappa=1)	计算 von Mises-Fisher 分布的微分熵。
fit(data)	拟合一个 von Mises-Fisher 分布到数据。

参见

scipy.stats.vonmises

二维圆上的 Von-Mises Fisher 分布

uniform_direction

超球面上的均匀分布

注释

von Mises-Fisher 分布是在单位超球面上的方向分布。单位向量 \(\mathbf{x}\) 的概率密度函数为

\[f(\mathbf{x}) = \frac{\kappa^{d/2-1}}{(2\pi)^{d/2}I_{d/2-1}(\kappa)} \exp\left(\kappa \mathbf{\mu}^T\mathbf{x}\right),\]

其中 \(\mathbf{\mu}\) 是平均方向，\(\kappa\) 是浓度参数，\(d\) 是维度，\(I\) 是第一类修正贝塞尔函数。由于 \(\mu\) 代表一个方向，它必须是一个单位向量，换句话说，是超球面上的一个点：\(\mathbf{\mu}\in S^{d-1}\)。\(\kappa\) 是一个浓度参数，这意味着它必须是正的（\(\kappa>0\)），并且随着 \(\kappa\) 的增加，分布变得更加狭窄。从这个意义上说，倒数值 \(1/\kappa\) 类似于正态分布的方差参数。

von Mises-Fisher 分布通常作为球面上的正态分布的类似物。直观地说，对于单位向量，一个有用的距离度量是由它们之间的角度 \(\alpha\) 给出的。这正是 von Mises-Fisher 概率密度函数中的标量积 \(\mathbf{\mu}^T\mathbf{x}=\cos(\alpha)\) 所描述的：平均方向 \(\mathbf{\mu}\) 和向量 \(\mathbf{x}\) 之间的角度。它们之间的角度越大，对于这个特定的平均方向 \(\mathbf{\mu}\)，观察到 \(\mathbf{x}\) 的概率就越小。

在二维和三维中，使用专门的算法进行快速采样 [2]，[3]。对于四维或更高维度，使用 [4] 中描述的拒绝采样算法。此实现部分基于 geomstats 包 [5]，[6]。

Added in version 1.11.

参考文献

[1]

Von Mises-Fisher 分布, 维基百科, https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises%E2%80%93Fisher_distribution

[2]

Mardia, K., 和 Jupp, P. 方向统计学. Wiley, 2000.

[3]

J. Wenzel. Numerically stable sampling of the von Mises Fisher distribution on S2. https://www.mitsuba-renderer.org/~wenzel/files/vmf.pdf

[4]

Wood, A. von mises fisher 分布的模拟。统计通讯-模拟与计算 23, 1 (1994), 157-164. https://doi.org/10.1080/03610919408813161

[5]

geomstats, Github. MIT 许可证. 访问日期: 06.01.2023. geomstats/geomstats

[6]

Miolane, N. 等。Geomstats: 一个用于机器学习中黎曼几何的Python包。机器学习研究杂志 21 (2020). http://jmlr.org/papers/v21/19-027.html

示例

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概率密度的可视化

绘制随着浓度参数增加的三维概率密度。密度通过 pdf 方法计算。

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy.stats import vonmises_fisher
>>> from matplotlib.colors import Normalize
>>> n_grid = 100
>>> u = np.linspace(0, np.pi, n_grid)
>>> v = np.linspace(0, 2 * np.pi, n_grid)
>>> u_grid, v_grid = np.meshgrid(u, v)
>>> vertices = np.stack([np.cos(v_grid) * np.sin(u_grid),
...                      np.sin(v_grid) * np.sin(u_grid),
...                      np.cos(u_grid)],
...                     axis=2)
>>> x = np.outer(np.cos(v), np.sin(u))
>>> y = np.outer(np.sin(v), np.sin(u))
>>> z = np.outer(np.ones_like(u), np.cos(u))
>>> def plot_vmf_density(ax, x, y, z, vertices, mu, kappa):
...     vmf = vonmises_fisher(mu, kappa)
...     pdf_values = vmf.pdf(vertices)
...     pdfnorm = Normalize(vmin=pdf_values.min(), vmax=pdf_values.max())
...     ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1,
...                     facecolors=plt.cm.viridis(pdfnorm(pdf_values)),
...                     linewidth=0)
...     ax.set_aspect('equal')
...     ax.view_init(azim=-130, elev=0)
...     ax.axis('off')
...     ax.set_title(rf"$\kappa={kappa}$")
>>> fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=3, figsize=(9, 4),
...                          subplot_kw={"projection": "3d"})
>>> left, middle, right = axes
>>> mu = np.array([-np.sqrt(0.5), -np.sqrt(0.5), 0])
>>> plot_vmf_density(left, x, y, z, vertices, mu, 5)
>>> plot_vmf_density(middle, x, y, z, vertices, mu, 20)
>>> plot_vmf_density(right, x, y, z, vertices, mu, 100)
>>> plt.subplots_adjust(top=1, bottom=0.0, left=0.0, right=1.0, wspace=0.)
>>> plt.show()

随着我们增加浓度参数，点越来越聚集在平均方向周围。

采样

使用 rvs 方法从分布中抽取5个样本，生成一个5x3的数组。

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu = np.array([0, 0, 1])
>>> samples = vonmises_fisher(mu, 20).rvs(5, random_state=rng)
>>> samples
array([[ 0.3884594 , -0.32482588,  0.86231516],
       [ 0.00611366, -0.09878289,  0.99509023],
       [-0.04154772, -0.01637135,  0.99900239],
       [-0.14613735,  0.12553507,  0.98126695],
       [-0.04429884, -0.23474054,  0.97104814]])

这些样本是球面 \(S^2\) 上的单位向量。为了验证，让我们计算它们的欧几里得范数：

>>> np.linalg.norm(samples, axis=1)
array([1., 1., 1., 1., 1.])

绘制从von Mises-Fisher分布中抽取的20个观测值，随着浓度参数 \(\kappa\) 的增加。红色点突出显示平均方向 \(\mu\)。

>>> def plot_vmf_samples(ax, x, y, z, mu, kappa):
...     vmf = vonmises_fisher(mu, kappa)
...     samples = vmf.rvs(20)
...     ax.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, linewidth=0,
...                     alpha=0.2)
...     ax.scatter(samples[:, 0], samples[:, 1], samples[:, 2], c='k', s=5)
...     ax.scatter(mu[0], mu[1], mu[2], c='r', s=30)
...     ax.set_aspect('equal')
...     ax.view_init(azim=-130, elev=0)
...     ax.axis('off')
...     ax.set_title(rf"$\kappa={kappa}$")
>>> mu = np.array([-np.sqrt(0.5), -np.sqrt(0.5), 0])
>>> fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=3,
...                          subplot_kw={"projection": "3d"},
...                          figsize=(9, 4))
>>> left, middle, right = axes
>>> plot_vmf_samples(left, x, y, z, mu, 5)
>>> plot_vmf_samples(middle, x, y, z, mu, 20)
>>> plot_vmf_samples(right, x, y, z, mu, 100)
>>> plt.subplots_adjust(top=1, bottom=0.0, left=0.0,
...                     right=1.0, wspace=0.)
>>> plt.show()

图表显示，随着浓度 \(\kappa\) 的增加，生成的样本更紧密地围绕平均方向中心分布。

拟合分布参数

可以使用 fit 方法将分布拟合到数据，返回估计的参数。作为一个简单的例子，让我们将分布拟合到从已知的 von Mises-Fisher 分布中抽取的样本。

>>> mu, kappa = np.array([0, 0, 1]), 20
>>> samples = vonmises_fisher(mu, kappa).rvs(1000, random_state=rng)
>>> mu_fit, kappa_fit = vonmises_fisher.fit(samples)
>>> mu_fit, kappa_fit
(array([0.01126519, 0.01044501, 0.99988199]), 19.306398751730995)

我们看到估计的参数 mu_fit 和 kappa_fit 非常接近真实参数。

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