bethe_hessian_matrix

bethe_hessian_matrix(G, r=None, nodelist=None)

返回图 G 的 Bethe Hessian 矩阵。

Bethe Hessian 是一族由参数 r 定义的矩阵，定义为 H(r) = (r^2 - 1) I - r A + D，其中 A 是邻接矩阵，D 是节点度的对角矩阵，I 是单位矩阵。当正则化参数 r = 1 时，它等于图拉普拉斯矩阵。

默认的正则化参数选择应该是比值 [2]

\[r_m = \left(\sum k_i \right)^{-1}\left(\sum k_i^2 \right) - 1\]

Parameters:

G图

一个 NetworkX 图

r浮点数

正则化参数

nodelist列表, 可选

行和列按照 nodelist 中的节点顺序排列。 如果 nodelist 为 None，则顺序由 G.nodes() 生成。

Returns:

Hscipy.sparse.csr_array

图 G 的 Bethe Hessian 矩阵，参数为 r 。

See also

bethe_hessian_spectrum

adjacency_matrix

laplacian_matrix

References

[1]

A. Saade, F. Krzakala 和 L. Zdeborová “Spectral Clustering of Graphs with the Bethe Hessian”, Advances in Neural Information Processing Systems, 2014.

[2]

C. M. Le, E. Levina “Estimating the number of communities in networks by spectral methods” arXiv:1507.00827, 2015.

Examples

>>> k = [3, 2, 2, 1, 0]
>>> G = nx.havel_hakimi_graph(k)
>>> H = nx.bethe_hessian_matrix(G)
>>> H.toarray()
array([[ 3.5625, -1.25  , -1.25  , -1.25  ,  0.    ],
       [-1.25  ,  2.5625, -1.25  ,  0.    ,  0.    ],
       [-1.25  , -1.25  ,  2.5625,  0.    ,  0.    ],
       [-1.25  ,  0.    ,  0.    ,  1.5625,  0.    ],
       [ 0.    ,  0.    ,  0.    ,  0.    ,  0.5625]])

---

Additional backends implement this function

graphblas : OpenMP-enabled sparse linear algebra backend.