scipy.integrate.

dblquad

scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun, args=(), epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08)

计算一个双重积分。

返回 func(y, x) 从 x = a..b 和 y = gfun(x)..hfun(x) 的双重（定）积分。

参数:

函数可调用

一个至少有两个变量的Python函数或方法：y必须是第一个参数，x是第二个参数。

a, b浮动

x 的积分限制：a < b

gfun可调用对象或浮点数

y 中的下边界曲线是一个函数，该函数接受一个浮点数参数 (x) 并返回一个浮点数结果或一个表示常数边界曲线的浮点数。

hfun可调用对象或浮点数

y 轴的上边界曲线（与 gfun 有相同的要求）。

参数序列，可选

传递给 func 的额外参数。

epsabsfloat, 可选

直接传递给内部一维积分积分的绝对容差。默认值为 1.49e-8。dblquad 尝试获得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精度，其中 i 是从 gfun(x) 到 hfun(x) 的 func(y, x) 的内部积分，而 result 是数值近似值。请参见下面的 epsrel。

epsrelfloat, 可选

内部一维积分的相对容差。默认值为 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，epsrel 必须大于 5e-29 和 50 * (机器精度)。参见上面的 epsabs。

返回:

y浮动

结果积分。

abserr浮动

一个误差的估计。

参见

quad

单积分

tplquad

三重积分

nquad

N维积分

fixed_quad

固定顺序的高斯求积

simpson

采样数据的积分器

romb

采样数据的积分器

scipy.special

对于正交多项式的系数和根

注释

为了得到有效的结果，积分必须收敛；对于发散积分的处理行为不保证。

QUADPACK 级别例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节提供了每个例程被调用的条件以及每个例程的简短描述。对于每个积分级别，qagse 用于有限极限，或者如果任一极限（或两者！）是无限的，则使用 qagie。以下是每个例程的简短描述，来自 [1]。

qagse

是一种基于全局自适应区间细分与外推的积分器，它将消除多种类型的被积函数奇异性的影响。

qagie

处理无限区间上的积分。无限范围被映射到一个有限区间，然后应用与 QAGS 相同的策略。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: 一个用于自动积分的子程序包。Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

示例

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计算函数 x * y**2 在区域 x 从 0 到 2 和 y 从 0 到 1 上的双重积分。即，\(\int^{x=2}_{x=0} \int^{y=1}_{y=0} x y^2 \,dy \,dx\)。

>>> import numpy as np
>>> from scipy import integrate
>>> f = lambda y, x: x*y**2
>>> integrate.dblquad(f, 0, 2, 0, 1)
    (0.6666666666666667, 7.401486830834377e-15)

计算 \(\int^{x=\pi/4}_{x=0} \int^{y=\cos(x)}_{y=\sin(x)} 1 \,dy \,dx\)。

>>> f = lambda y, x: 1
>>> integrate.dblquad(f, 0, np.pi/4, np.sin, np.cos)
    (0.41421356237309503, 1.1083280054755938e-14)

计算 \(\int^{x=1}_{x=0} \int^{y=2-x}_{y=x} a x y \,dy \,dx\) 对于 \(a=1, 3\)。

>>> f = lambda y, x, a: a*x*y
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(1,))
    (0.33333333333333337, 5.551115123125783e-15)
>>> integrate.dblquad(f, 0, 1, lambda x: x, lambda x: 2-x, args=(3,))
    (0.9999999999999999, 1.6653345369377348e-14)

计算二维高斯积分，即高斯函数 \(f(x,y) = e^{-(x^{2} + y^{2})}\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上的积分。也就是说，计算积分 \(\iint^{+\infty}_{-\infty} e^{-(x^{2} + y^{2})} \,dy\,dx\)。

>>> f = lambda x, y: np.exp(-(x ** 2 + y ** 2))
>>> integrate.dblquad(f, -np.inf, np.inf, -np.inf, np.inf)
    (3.141592653589777, 2.5173086737433208e-08)

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