scipy.integrate.

四边形

scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None, wopts=None, maxp1=50, limlst=50, complex_func=False)

计算定积分。

使用Fortran库QUADPACK中的技术，从 a 到 b （可能是无限区间）积分 func。

参数:

函数{函数, scipy.LowLevelCallable}

要集成的Python函数或方法。如果 func 有多个参数，则沿与第一个参数对应的轴进行积分。

如果用户希望提高集成性能，那么 f 可以是具有以下签名的 scipy.LowLevelCallable:

double func(double x)
double func(double x, void *user_data)
double func(int n, double *xx)
double func(int n, double *xx, void *user_data)

user_data 是包含在 scipy.LowLevelCallable 中的数据。在带有 xx 的调用形式中，n 是 xx 数组的长度，其中包含 xx[0] == x，其余项是包含在 quad 的 args 参数中的数字。

此外，某些 ctypes 调用签名支持向后兼容，但这些不应在新代码中使用。

a浮动

积分下限（使用 -numpy.inf 表示负无穷大）。

b浮动

积分上限（使用 numpy.inf 表示 +无穷大）。

参数tuple, 可选

传递给 func 的额外参数。

完整输出int, 可选

返回一个集成信息字典。如果不为零，警告信息也会被抑制，并且该信息会被附加到输出元组中。

complex_funcbool, 可选

指示函数 (func) 的返回类型是实数 (complex_func=False: 默认) 还是复数 (complex_func=True)。在这两种情况下，函数的参数都是实数。如果 full_output 也是非零的，则 infodict、message 和 explain 的实部和虚部将作为字典返回，键为 “real output” 和 “imag output”。

返回:

y浮动

从 a 到 b 的 func 的积分。

abserr浮动

结果中绝对误差的估计。

infodictdict

包含附加信息的字典。

消息

一个收敛消息。

解释

仅附加了 ‘cos’ 或 ‘sin’ 加权和无限积分限，它包含了对 infodict[‘ierlst’] 中代码的解释

其他参数:

epsabs浮点数或整数，可选

绝对误差容限。默认值为 1.49e-8。quad 尝试获得 abs(i-result) <= max(epsabs, epsrel*abs(i)) 的精度，其中 i 是从 a 到 b 的 func 的积分，而 result 是数值近似值。参见下面的 epsrel。

epsrel浮点数或整数，可选

相对误差容限。默认值为 1.49e-8。如果 epsabs <= 0，epsrel 必须大于 5e-29 和 50 * (机器精度)。参见上面的 epsabs。

限制浮点数或整数，可选

自适应算法中使用的子区间数量的上限。

点(浮点数序列, 整数序列), 可选

在有界积分区间中可能出现被积函数局部困难（例如，奇点、不连续点）的断点序列。该序列不必排序。请注意，此选项不能与 weight 一起使用。

重量浮点数或整数，可选

指示权重函数的字符串。关于此参数及剩余参数的完整解释可在下方找到。

wvar可选的

用于加权函数的变量。

wopts可选的

可选输入以重用切比雪夫矩。

maxp1浮点数或整数，可选

切比雪夫矩数量的上限。

limlstint, 可选

用于正弦加权和无限端点的循环次数的上限（>=3）。

参见

dblquad

双重积分

tplquad

三重积分

nquad

n 维积分（递归使用 quad）

fixed_quad

固定顺序的高斯求积

simpson

采样数据的积分器

romb

采样数据的积分器

scipy.special

对于正交多项式的系数和根

注释

为了得到有效的结果，积分必须收敛；对于发散积分的处理行为不保证。

quad() 输入和输出的额外信息

如果 full_output 非零，那么第三个输出参数 (infodict) 是一个字典，其条目如下表所示。对于无限极限，范围被转换为 (0,1)，可选输出根据此转换范围给出。设 M 为输入参数 limit，设 K 为 infodict[‘last’]。条目如下：

‘neval’

函数评估的次数。

‘最后’

细分过程中产生的子区间数量，K。

‘alist’

长度为 M 的一维数组，其中前 K 个元素是积分范围分区的子区间的左端点。

‘blist’

长度为 M 的一维数组，其前 K 个元素是子区间的右端点。

‘rlist’

长度为 M 的一维数组，前 K 个元素是子区间上的积分近似值。

‘elist’

长度为 M 的一维数组，前 K 个元素是子区间上绝对误差估计的模数。

‘iord’

一个长度为 M 的一维整数数组，前 L 个元素是指向子区间误差估计的指针，其中 L=K 如果 K<=M/2+2 或者 L=M+1-K 否则。设 I 为序列 infodict['iord']，设 E 为序列 infodict['elist']。那么 E[I[1]], ..., E[I[L]] 形成一个递减序列。

如果提供了输入参数 points（即它不是 None），则会在输出字典中放置以下额外输出。假设 points 序列的长度为 P。

‘pts’

一个长度为 P+2 的 1 级数组，包含积分限和区间断点，按升序排列。这是一个数组，给出了将进行积分的子区间。

‘级别’

一个长度为 M (=limit) 的秩为 1 的整数数组，包含子区间的细分级别，即，如果 (aa,bb) 是 (pts[1], pts[2]) 的子区间，其中 pts[0] 和 pts[2] 是 infodict['pts'] 的相邻元素，那么 (aa,bb) 的级别为 l，如果 |bb-aa| = |pts[2]-pts[1]| * 2**(-l)。

‘ndin’

一个长度为 P+2 的 1 级整数数组。在第一次对区间 (pts[1], pts[2]) 进行积分后，某些区间上的误差估计可能会被人为地增加，以便提前进行它们的细分。这个数组在对应于发生这种情况的子区间的槽中具有 1。

加权被积函数

输入变量 weight 和 wvar 用于通过一个选定的函数列表对被积函数进行加权。不同的积分方法用于计算这些加权函数的积分，并且这些方法不支持指定断点。weight 的可能值及其对应的加权函数如下。

weight	使用的权重函数	wvar
‘cos’	cos(w*x)	wvar = w
‘sin’	sin(w*x)	wvar = w
‘alg’	g(x) = ((x-a)**alpha)*((b-x)**beta)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-loga’	g(x)*log(x-a)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-logb’	g(x)*log(b-x)	wvar = (alpha, beta)
‘alg-log’	g(x)*log(x-a)*log(b-x)	wvar = (alpha, beta)
‘柯西’	1/(x-c)	wvar = c

wvar 根据所选权重保存参数 w、(alpha, beta) 或 c。在这些表达式中，a 和 b 是积分限。

对于 ‘cos’ 和 ‘sin’ 加权，可以使用额外的输入和输出。

对于有限积分限，积分使用Clenshaw-Curtis方法进行，该方法使用Chebyshev矩。对于重复计算，这些矩保存在输出字典中：

‘momcom’

已经计算的切比雪夫矩的最大级别，即，如果 M_c 是 infodict['momcom']，那么矩已经为长度为 |b-a| * 2**(-l) 的区间计算，l=0,1,...,M_c。

‘nnlog’

一个长度为 M(=limit) 的秩为 1 的整数数组，包含子区间的细分级别，即，该数组的元素等于 l，如果对应的子区间是 |b-a|* 2**(-l)。

‘切比莫’

一个形状为 (25, maxp1) 的秩-2数组，包含计算得到的切比雪夫矩。这些矩可以通过将此数组作为序列 wopts 的第二个元素传递，并将 infodict[‘momcom’] 作为第一个元素传递，传递给同一区间的积分。

如果其中一个积分限是无限的，那么将计算傅里叶积分（假设 w 不等于 0）。如果 full_output 为 1 并且遇到数值错误，除了附加到输出元组的错误消息外，还会将一个字典附加到输出元组中，该字典将数组 info['ierlst'] 中的错误代码翻译成英文消息。输出信息字典包含以下条目，而不是 ‘last’、’alist’、’blist’、’rlist’ 和 ‘elist’：

‘lst’

积分所需的子区间数量（称之为 K_f）。

‘rslst’

长度为 M_f=limlst 的秩-1 数组，其前 K_f 个元素包含区间 (a+(k-1)c, a+kc) 上的积分贡献，其中 c = (2*floor(|w|) + 1) * pi / |w| 且 k=1,2,...,K_f。

‘erlst’

一个长度为 M_f 的秩-1数组，包含与 infodict['rslist'] 中相同位置的区间相对应的误差估计。

‘ierlst’

一个长度为 M_f 的秩为1的整数数组，包含与 infodict['rslist'] 中相同位置的区间对应的错误标志。代码的含义请参见解释字典（输出元组的最后一个条目）。

QUADPACK 级别例程的详细信息

quad 调用 FORTRAN 库 QUADPACK 中的例程。本节提供每个例程被调用的条件详细信息以及每个例程的简短描述。调用的例程取决于 weight、points 以及积分限 a 和 b。

QUADPACK 例程	weight	points	无限边界
qagse	无	不	不
qagie	无	不	是
qagpe	无	是	不
qawoe	‘sin’, ‘cos’	不	不
qawfe	‘sin’, ‘cos’	不	要么 a 要么 b
qawse	‘alg*’	不	不
qawce	‘柯西’	不	不

以下为每个例程从 [1] 提供的简短描述。

qagse

是一种基于全局自适应区间细分与外推的积分器，它将消除多种类型的被积函数奇异性的影响。

qagie

处理无限区间上的积分。无限范围被映射到一个有限区间，然后应用与 QAGS 相同的策略。

qagpe

与QAGS具有相同的目的，但还允许用户提供关于问题区域位置和类型的明确信息，即内部奇点、不连续点和其他被积函数困难的横坐标。

qawoe

是一个用于评估 \(\int^b_a \cos(\omega x)f(x)dx\) 或 \(\int^b_a \sin(\omega x)f(x)dx\) 在有限区间 [a,b] 上的积分器，其中 \(\omega\) 和 \(f\) 由用户指定。规则评估组件基于改进的 Clenshaw-Curtis 技术

使用了一种自适应细分方案，结合了一种外推程序，这是对 QAGS 中的修改，允许算法处理 \(f(x)\) 中的奇点。

qawfe

计算傅里叶变换 \(\int^\infty_a \cos(\omega x)f(x)dx\) 或 \(\int^\infty_a \sin(\omega x)f(x)dx\)，其中 \(\omega\) 和 \(f\) 由用户提供。QAWO 过程应用于连续的有限区间，并通过 \(\varepsilon\)-算法对积分近似序列进行收敛加速。

qawse

近似计算 \(\int^b_a w(x)f(x)dx\)，其中 \(a < b\)，且 \(w(x) = (x-a)^{\alpha}(b-x)^{\beta}v(x)\)，其中 \(\alpha,\beta > -1\)，而 \(v(x)\) 可以是以下函数之一：\(1\)，\(\log(x-a)\)，\(\log(b-x)\)，\(\log(x-a)\log(b-x)\)。

用户指定 \(\alpha\)、\(\beta\) 和函数 \(v\) 的类型。采用全局自适应细分策略，对包含 a 或 b 的子区间应用修改后的 Clenshaw-Curtis 积分。

qawce

计算 \(\int^b_a f(x) / (x-c)dx\)，其中积分必须被解释为柯西主值积分，对于用户指定的 \(c\) 和 \(f\)。策略是全局自适应的。在包含点 \(x = c\) 的区间上使用修正的Clenshaw-Curtis积分。

实变量复杂函数的积分

复值函数 \(f\) ，对于实变量可以写成 \(f = g + ih\) 。类似地， \(f\) 的积分可以写成

\[\int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx + i\int_a^b h(x) dx\]

假设 \(g\) 和 \(h\) 在区间 \([a,b]\) 上的积分存在 [2]。因此，quad 通过分别积分实部和虚部来积分复值函数。

参考文献

[1]

Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: 一个用于自动积分的子程序包。Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-12553-2.

[2]

McCullough, Thomas; Phillips, Keith (1973). 《复平面分析基础》. Holt Rinehart Winston. ISBN 0-03-086370-8

示例

Try it in your browser!

计算 \(\int^4_0 x^2 dx\) 并与解析结果进行比较

>>> from scipy import integrate
>>> import numpy as np
>>> x2 = lambda x: x**2
>>> integrate.quad(x2, 0, 4)
(21.333333333333332, 2.3684757858670003e-13)
>>> print(4**3 / 3.)  # analytical result
21.3333333333

计算 \(\int^\infty_0 e^{-x} dx\)

>>> invexp = lambda x: np.exp(-x)
>>> integrate.quad(invexp, 0, np.inf)
(1.0, 5.842605999138044e-11)

计算 \(\int^1_0 a x \,dx\) 对于 \(a = 1, 3\)

>>> f = lambda x, a: a*x
>>> y, err = integrate.quad(f, 0, 1, args=(1,))
>>> y
0.5
>>> y, err = integrate.quad(f, 0, 1, args=(3,))
>>> y
1.5

使用ctypes计算 \(\int^1_0 x^2 + y^2 dx\)，其中y参数固定为1:

testlib.c =>
    double func(int n, double args[n]){
        return args[0]*args[0] + args[1]*args[1];}
compile to library testlib.*

from scipy import integrate
import ctypes
lib = ctypes.CDLL('/home/.../testlib.*') #use absolute path
lib.func.restype = ctypes.c_double
lib.func.argtypes = (ctypes.c_int,ctypes.c_double)
integrate.quad(lib.func,0,1,(1))
#(1.3333333333333333, 1.4802973661668752e-14)
print((1.0**3/3.0 + 1.0) - (0.0**3/3.0 + 0.0)) #Analytic result
# 1.3333333333333333

请注意，与积分区间大小相比，脉冲形状和其他尖锐特征可能无法使用此方法正确积分。这种限制的一个简化示例是积分一个在积分边界内有许多零值的y轴反射阶跃函数。

>>> y = lambda x: 1 if x<=0 else 0
>>> integrate.quad(y, -1, 1)
(1.0, 1.1102230246251565e-14)
>>> integrate.quad(y, -1, 100)
(1.0000000002199108, 1.0189464580163188e-08)
>>> integrate.quad(y, -1, 10000)
(0.0, 0.0)

Go BackOpen In Tab