scipy.special.iv#

scipy.special.iv(v, z, out=None) = <ufunc 'iv'>#

实数阶的第一类修正贝塞尔函数。

参数:

varray_like: 顺序。如果 z 是实数类型且为负数，v 必须是整数值。
z类似数组的浮点数或复数: 参数。
出ndarray，可选: 函数值的可选输出数组

返回:

标量或ndarray: 修正贝塞尔函数的值。

参见

ive: 这个函数去除了前导指数行为。
i0: 此函数的更快版本，适用于阶数为0的情况。
i1: 此函数的更快版本，适用于阶数为1的情况。

注释

对于实数 z 和 \(v \in [-50, 50]\)，评估采用 Temme 方法 [1] 进行。对于较大的阶数，应用一致渐近展开。

对于复杂的 z 和正的 v，调用 AMOS [2] 的 zbesi 例程。它使用幂级数处理小 z，大 abs(z) 的渐近展开，Miller 算法通过 Wronskian 归一化，以及中等大小的 Neumann 级数，以及用于大阶数的 \(I_v(z)\) 和 \(J_v(z)\) 的均匀渐近展开。必要时使用后向递归来生成序列或降低阶数。

上述计算在右半平面进行，并通过公式延续到左半平面，

\[ \begin{align}\begin{aligned}I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\\I_v(z \exp(\pm\imath\pi)) = \exp(\pm\pi v) I_v(z)\end{aligned}\end{align} \]

(当 z 的实部为正时有效)。对于负的 v，公式

\[I_{-v}(z) = I_v(z) + \frac{2}{\pi} \sin(\pi v) K_v(z)\]

使用时，其中 \(K_v(z)\) 是第二类修正贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesk 进行评估。

参考文献

[1]

Temme, Journal of Computational Physics, vol 21, 343 (1976)

[2]

Donald E. Amos, “AMOS, 一个用于复数参数和非负阶贝塞尔函数的便携式软件包”, http://netlib.org/amos/

示例

在一点处评估0阶函数的功能。

>>> from scipy.special import iv
>>> iv(0, 1.)
1.2660658777520084

在不同阶数下评估函数在某一点的结果。

>>> iv(0, 1.), iv(1, 1.), iv(1.5, 1.)
(1.2660658777520084, 0.565159103992485, 0.2935253263474798)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中进行不同阶数的评估：

>>> iv([0, 1, 1.5], 1.)
array([1.26606588, 0.5651591 , 0.29352533])

通过为 z 提供一个数组，在多个点上评估阶数为0的函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([-2., 0., 3.])
>>> iv(0, points)
array([2.2795853 , 1.        , 4.88079259])

如果 z 是一个数组，参数 v 必须能够广播到正确的形状，如果在一个调用中计算不同的阶数。要计算一个一维数组的阶数 0 和 1：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> iv(orders, points)
array([[ 2.2795853 ,  1.        ,  4.88079259],
       [-1.59063685,  0.        ,  3.95337022]])

绘制从 -5 到 5 的 0 到 3 阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(-5., 5., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, iv(i, x), label=f'$I_{i!r}$')
>>> ax.legend()
>>> plt.show()