scipy.special.yv#

scipy.special.yv(v, z, out=None) = <ufunc 'yv'>#

第二类贝塞尔函数的实数阶和复数参数。

参数:

varray_like: 顺序 (浮点数)。
zarray_like: 参数（浮点数或复数）。
出ndarray，可选: 函数结果的可选输出数组

返回:

Y标量或ndarray: 第二类贝塞尔函数的值，\(Y_v(x)\)。

参见

yve: \(Y_v\) 去除了前导指数行为。
y0: 此函数的更快实现，适用于阶数 0
y1: 此函数的更快实现，适用于阶数 1

注释

对于正的 v 值，计算是通过使用 AMOS [1] zbesy 例程进行的，该例程利用了与汉克尔贝塞尔函数 \(H_v^{(1)}\) 和 \(H_v^{(2)}\) 的连接。

\[Y_v(z) = \frac{1}{2\imath} (H_v^{(1)} - H_v^{(2)}).\]

对于负的 v 值，公式，

\[Y_{-v}(z) = Y_v(z) \cos(\pi v) + J_v(z) \sin(\pi v)\]

使用时，其中 \(J_v(z)\) 是第一类贝塞尔函数，使用 AMOS 例程 zbesj 计算。请注意，对于整数 v，第二项恰好为零；为了提高精度，对于 v 值满足 v = floor(v) 的情况，第二项被显式省略。

参考文献

[1]

Donald E. Amos, “AMOS, 一个用于复数参数和非负阶贝塞尔函数的便携式软件包”, http://netlib.org/amos/

示例

在一点处评估0阶函数的功能。

>>> from scipy.special import yv
>>> yv(0, 1.)
0.088256964215677

在不同阶数下评估函数在某一点的结果。

>>> yv(0, 1.), yv(1, 1.), yv(1.5, 1.)
(0.088256964215677, -0.7812128213002889, -1.102495575160179)

通过为 v 参数提供列表或 NumPy 数组，可以在一次调用中进行不同阶数的评估：

>>> yv([0, 1, 1.5], 1.)
array([ 0.08825696, -0.78121282, -1.10249558])

通过为 z 提供一个数组，在多个点上评估阶数为0的函数。

>>> import numpy as np
>>> points = np.array([0.5, 3., 8.])
>>> yv(0, points)
array([-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149])

如果 z 是一个数组，参数 v 必须能够广播到正确的形状，如果在一个调用中计算不同的阶数。要计算一个一维数组的阶数 0 和 1：

>>> orders = np.array([[0], [1]])
>>> orders.shape
(2, 1)

>>> yv(orders, points)
array([[-0.44451873,  0.37685001,  0.22352149],
       [-1.47147239,  0.32467442, -0.15806046]])

绘制从0到10的0到3阶函数。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> x = np.linspace(0., 10., 1000)
>>> for i in range(4):
...     ax.plot(x, yv(i, x), label=f'$Y_{i!r}$')
>>> ax.set_ylim(-3, 1)
>>> ax.legend()
>>> plt.show()