scipy.stats.nhypergeom

scipy.stats.nhypergeom = <scipy.stats._discrete_distns.nhypergeom_gen object>

负超几何离散随机变量。

考虑一个包含 \(M\) 个球的盒子：\(n\) 个红色球和 \(M-n\) 个蓝色球。我们随机从盒子中逐个抽取球，且不进行替换，直到我们抽取了 \(r\) 个蓝色球。nhypergeom 是我们在抽取过程中抽到的红色球数量 \(k\) 的分布。

作为 rv_discrete 类的一个实例，nhypergeom 对象继承了它的一系列通用方法（完整列表见下文），并根据此特定分布的细节对其进行了补充。

方法

rvs(M, n, r, loc=0, size=1, random_state=None)	随机变量。
pmf(k, M, n, r, loc=0)	概率质量函数。
logpmf(k, M, n, r, loc=0)	概率质量函数的对数。
cdf(k, M, n, r, loc=0)	累积分布函数。
logcdf(k, M, n, r, loc=0)	累积分布函数的对数。
sf(k, M, n, r, loc=0)	生存函数 (也定义为 1 - cdf，但 sf 有时更精确)。
logsf(k, M, n, r, loc=0)	生存函数的对数。
ppf(q, M, n, r, loc=0)	百分点函数（cdf 的逆函数 — 百分位数）。
isf(q, M, n, r, loc=0)	逆生存函数（sf 的逆函数）。
stats(M, n, r, loc=0, moments=’mv’)	均值(‘m’)、方差(‘v’)、偏度(‘s’) 和/或 峰度(‘k’)。
entropy(M, n, r, loc=0)	（微分）随机变量的熵。
expect(func, args=(M, n, r), loc=0, lb=None, ub=None, conditional=False)	函数（单参数）相对于分布的期望值。
median(M, n, r, loc=0)	分布的中位数。
mean(M, n, r, loc=0)	分布的均值。
var(M, n, r, loc=0)	分布的方差。
std(M, n, r, loc=0)	分布的标准差。
interval(confidence, M, n, r, loc=0)	在中位数周围等面积的置信区间。

参见

hypergeom, binom, nbinom

注释

用于表示形状参数的符号（M、n 和 r）并未被普遍接受。请参阅示例以澄清此处使用的定义。

概率质量函数定义为，

\[f(k; M, n, r) = \frac{{{k+r-1}\choose{k}}{{M-r-k}\choose{n-k}}} {{M \choose n}}\]

对于 \(k \in [0, n]\), \(n \in [0, M]\), \(r \in [0, M-n]\)，二项式系数为：

\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]

这相当于在 \(k+r-1\) 个样本中观察到 \(k\) 次成功，其中第 \(k+r\) 个样本是失败。前者可以用超几何分布建模。后者的概率仅仅是剩余的失败次数 \(M-n-(r-1)\) 除以剩余人口的规模 \(M-(k+r-1)\) 。这种关系可以表示为：

\[NHG(k;M,n,r) = HG(k;M,n,k+r-1)\frac{(M-n-(r-1))}{(M-(k+r-1))}\]

其中 \(NHG\) 是负超几何分布的概率质量函数（PMF），而 \(HG\) 是超几何分布的PMF。

上述概率质量函数是以“标准化”形式定义的。要移动分布，请使用 loc 参数。具体来说，nhypergeom.pmf(k, M, n, r, loc) 完全等同于 nhypergeom.pmf(k - loc, M, n, r)。

参考文献

[1]

维基百科上的负超几何分布 https://en.wikipedia.org/wiki/Negative_hypergeometric_distribution

[2]

来自 http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Negativehypergeometric.pdf 的负超几何分布

示例

Try it in your browser!

>>> import numpy as np
>>> from scipy.stats import nhypergeom
>>> import matplotlib.pyplot as plt

假设我们有一组20只动物，其中7只是狗。那么，如果我们想知道在样本中找到一定数量的狗（成功）的概率，样本中恰好有12只不是狗的动物（失败），我们可以初始化一个冻结分布并绘制概率质量函数：

>>> M, n, r = [20, 7, 12]
>>> rv = nhypergeom(M, n, r)
>>> x = np.arange(0, n+2)
>>> pmf_dogs = rv.pmf(x)

>>> fig = plt.figure()
>>> ax = fig.add_subplot(111)
>>> ax.plot(x, pmf_dogs, 'bo')
>>> ax.vlines(x, 0, pmf_dogs, lw=2)
>>> ax.set_xlabel('# of dogs in our group with given 12 failures')
>>> ax.set_ylabel('nhypergeom PMF')
>>> plt.show()

我们也可以直接使用 nhypergeom 方法，而不是使用冻结的分布。例如，要获得概率质量函数，请使用：

>>> prb = nhypergeom.pmf(x, M, n, r)

并且生成随机数：

>>> R = nhypergeom.rvs(M, n, r, size=10)

要验证 hypergeom 和 nhypergeom 之间的关系，请使用：

>>> from scipy.stats import hypergeom, nhypergeom
>>> M, n, r = 45, 13, 8
>>> k = 6
>>> nhypergeom.pmf(k, M, n, r)
0.06180776620271643
>>> hypergeom.pmf(k, M, n, k+r-1) * (M - n - (r-1)) / (M - (k+r-1))
0.06180776620271644

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