JAX 内部：jaxpr 语言

JAX 内部：jaxpr 语言#

Jaxprs 是 JAX 的内部程序中间表示（IR）。它们是显式类型的、函数的、一阶的，并且采用代数正规形式（ANF）。

从概念上讲，可以将 JAX 变换（如 jax.jit() 或 jax.grad()）视为首先将待变换的 Python 函数追踪并特化为一种小型且行为良好的中间形式，然后使用特定于变换的解释规则进行解释。

JAX 之所以能在如此小的软件包中蕴含如此强大的功能，原因之一在于它从熟悉且灵活的编程接口（Python 与 NumPy）开始，并利用实际的 Python 解释器来完成大部分繁重的工作，从而将计算的本质提炼成一种简单的静态类型表达语言，该语言具有有限的高阶特性。

那种语言是 jaxpr 语言。jaxpr 术语语法如下所示：

jaxpr ::=
  { lambda <binder> , ... .
    let <eqn>
        ...
    in ( <atom> , ... ) }

binder ::= <var>:<array_type>
var ::= a | b | c | ...
atom ::= <var> | <literal>
literal ::= <int32> | <int64> | <float32> | <float64>

eqn ::= <binder> , ... = <primitive> [ <params> ] <atom> , ...

并非所有 Python 程序都可以这样处理，但事实证明，许多科学计算和机器学习程序可以。

在你继续之前，请记住并非所有的 JAX 变换都会像上面描述的那样实际生成一个 jaxpr。一些变换，如微分或批处理，会在追踪过程中逐步应用变换。然而，如果想要理解 JAX 的内部工作原理，或者利用 JAX 追踪的结果，理解 jaxprs 是有帮助的。

jax.core.ClosedJaxpr#

jaxpr 实例表示一个具有一个或多个类型化参数（输入变量）和一个或多个类型化结果的函数。结果仅依赖于输入变量；没有从封闭作用域捕获的自由变量。输入和输出具有类型，在 JAX 中这些类型表示为抽象值。

在代码中，jaxprs 有两种相关的表示形式，jax.core.Jaxpr 和 jax.core.ClosedJaxpr。一个 jax.core.ClosedJaxpr 表示一个部分应用的 jax.core.Jaxpr，这是当你使用 jax.make_jaxpr() 来检查 jaxprs 时得到的结果。它具有以下字段：

  • jaxpr: 是一个表示函数实际计算内容的 jax.core.Jaxpr (如下所述)。

  • consts 是一个常量列表。

ClosedJaxpr 中最有趣的部分是实际的执行内容，它以 jax.core.Jaxpr 的形式表示，使用以下语法打印：

jaxpr ::= { lambda Var* ; Var+.
            let Eqn*
            in  [Expr+] }

哪里：

  • jaxpr 的参数显示为两个由 ; 分隔的变量列表：

    • 第一组变量是那些被引入以代表被提升出来的常量的变量。这些被称为 constvars，在一个 jax.core.ClosedJaxpr 中，consts 字段保存相应的值。

    • 第二组变量，称为 invars，对应于被追踪的 Python 函数的输入。

  • Eqn* 是一个方程列表，定义了引用中间表达式的中间变量。每个方程定义一个或多个变量作为对某些原子表达式应用基本操作的结果。每个方程仅使用输入变量和由先前方程定义的中间变量。

  • Expr+: 是 jaxpr 的输出原子表达式（字面量或变量）列表。

方程式如下所示：

Eqn  ::= let Var+ = Primitive [ Param* ] Expr+

哪里：

  • Var+ 是一个或多个中间变量，定义为原语调用的输出（某些原语可以返回多个值）。

  • Expr+ 是一个或多个原子表达式，每个表达式要么是一个变量，要么是一个字面常量。一个特殊的变量 unitvar 或字面量 unit，打印为 *，表示在计算的其余部分中不需要的值，并且已被省略。也就是说，单位只是占位符。

  • Param* 是原语的零个或多个命名参数，打印在方括号中。每个参数显示为 名称 = 值。

大多数 jaxpr 原语是一阶的（它们只接受一个或多个 Expr 作为参数）：

Primitive := add | sub | sin | mul | ...

最常见的 jaxpr 原语记录在 jax.lax 模块中。

例如，下面是为函数 func1 生成的 jaxpr：

from jax import make_jaxpr
import jax.numpy as jnp

def func1(first, second):
   temp = first + jnp.sin(second) * 3.
   return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func1)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

这里没有 constvars，a 和 b 是输入变量，它们分别对应于 first 和 second 函数参数。标量字面量 3.0 保持内联。reduce_sum 原语除了操作数 e 之外，还有命名参数 axes 和 input_shape。

请注意，尽管调用 JAX 的程序执行会构建一个 jaxpr，但 Python 级别的控制流和 Python 级别的函数会正常执行。这意味着，仅仅因为一个 Python 程序包含函数和控制流，生成的 jaxpr 并不一定需要包含控制流或高阶特性。

例如，当追踪函数 func3 时，JAX 将会内联对 inner 的调用以及条件 if second.shape[0] > 4，并且将生成与之前相同的 jaxpr：

def func2(inner, first, second):
  temp = first + inner(second) * 3.
  return jnp.sum(temp)

def inner(second):
  if second.shape[0] > 4:
    return jnp.sin(second)
  else:
    assert False

def func3(first, second):
  return func2(inner, first, second)

print(make_jaxpr(func3)(jnp.zeros(8), jnp.ones(8)))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

处理 pytrees#

在 jaxpr 中没有元组类型；相反，原语接受多个输入并产生多个输出。当处理具有结构化输入或输出的函数时，JAX 会将这些输入或输出展平，在 jaxpr 中它们将显示为输入和输出的列表。更多详情，请参阅 Pytrees 教程。

例如，以下代码生成的 jaxpr 与您之前看到的相同（有两个输入变量，每个输入元组的元素一个）：

def func4(arg):  # The `arg` is a pair.
  temp = arg[0] + jnp.sin(arg[1]) * 3.
  return jnp.sum(temp)

print(make_jaxpr(func4)((jnp.zeros(8), jnp.ones(8))))

{ lambda ; a:f32[8] b:f32[8]. let
    c:f32[8] = sin b
    d:f32[8] = mul c 3.0
    e:f32[8] = add a d
    f:f32[] = reduce_sum[axes=(0,)] e
  in (f,) }

常量变量 (vars)#

jaxprs 中的一些值是常量，因为它们的值不依赖于 jaxpr 的参数。当这些值是标量时，它们直接在 jaxpr 方程中表示。非标量数组常量则被提升到 jaxpr 的顶层，它们对应于常量变量（“constvars”）。这些 constvars 与其他 jaxpr 参数（“invars”）的区别仅在于簿记惯例。

高阶 JAX 原语#

Jaxpr 包含几个高阶 JAX 原语。它们更为复杂，因为它们包含子 jaxpr。

cond 原语（条件语句）#

JAX 会跟踪普通的 Python 条件语句。为了捕获一个用于动态执行的条件表达式，必须使用 jax.lax.switch() 和 jax.lax.cond() 构造函数，它们的签名如下：

lax.switch(index: int, branches: Sequence[A -> B], operand: A) -> B

lax.cond(pred: bool, true_body: A -> B, false_body: A -> B, operand: A) -> B

这两个都会在内部绑定一个称为 cond 的原语。jaxprs 中的 cond 原语反映了 lax.switch() 的更一般签名：它接受一个表示要执行的分支索引的整数（被限制在有效的索引范围内）。

例如：

from jax import lax

def one_of_three(index, arg):
  return lax.switch(index, [lambda x: x + 1.,
                            lambda x: x - 2.,
                            lambda x: x + 3.],
                    arg)

print(make_jaxpr(one_of_three)(1, 5.))

{ lambda ; a:i32[] b:f32[]. let
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] a
    d:i32[] = clamp 0 c 2
    e:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; f:f32[]. let g:f32[] = add f 1.0 in (g,) }
        { lambda ; h:f32[]. let i:f32[] = sub h 2.0 in (i,) }
        { lambda ; j:f32[]. let k:f32[] = add j 3.0 in (k,) }
      )
    ] d b
  in (e,) }

cond 原语有多个参数：

  • branches 是与分支功能相对应的 jaxprs。在这个例子中，这些功能每个都接受一个输入变量，对应于 x。

  • linear 是一个布尔元组，由自动微分机制在内部使用，用于编码哪些输入参数在条件中是线性使用的。

上述 cond 原语的实例接受两个操作数。第一个 (d) 是分支索引，然后 b 是操作数 (arg)，将被传递给 branches 中由分支索引选择的任意 jaxpr。

另一个例子，使用 jax.lax.cond()：

from jax import lax

def func7(arg):
  return lax.cond(arg >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue + 3.,
                  lambda xfalse: xfalse - 3.,
                  arg)

print(make_jaxpr(func7)(5.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:bool[] = ge a 0.0
    c:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] b
    d:f32[] = cond[
      branches=(
        { lambda ; e:f32[]. let f:f32[] = sub e 3.0 in (f,) }
        { lambda ; g:f32[]. let h:f32[] = add g 3.0 in (h,) }
      )
    ] c a
  in (d,) }

在这种情况下，布尔谓词被转换为整数索引（0 或 1），而 branches 是与假和真分支功能相对应的 jaxprs，按此顺序排列。同样，每个函数接受一个输入变量，分别对应于 xfalse 和 xtrue。

以下示例展示了一个更复杂的情况，当分支功能的输入是一个元组时，false 分支功能包含一个常量 jnp.ones(1)，该常量被提升为一个 constvar。

def func8(arg1, arg2):  # Where `arg2` is a pair.
  return lax.cond(arg1 >= 0.,
                  lambda xtrue: xtrue[0],
                  lambda xfalse: jnp.array([1]) + xfalse[1],
                  arg2)

print(make_jaxpr(func8)(5., (jnp.zeros(1), 2.)))

{ lambda a:i32[1]; b:f32[] c:f32[1] d:f32[]. let
    e:bool[] = ge b 0.0
    f:i32[] = convert_element_type[new_dtype=int32 weak_type=False] e
    g:f32[1] = cond[
      branches=(
        { lambda ; h:i32[1] i:f32[1] j:f32[]. let
            k:f32[1] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=True] h
            l:f32[1] = add k j
          in (l,) }
        { lambda ; m_:i32[1] n:f32[1] o:f32[]. let  in (n,) }
      )
    ] f a c d
  in (g,) }

while 原始语句#

就像条件语句一样，Python 循环在跟踪过程中被内联。如果你想捕获一个循环以进行动态执行，你必须使用几种特殊操作之一，jax.lax.while_loop()（一个原语）和 jax.lax.fori_loop()（一个生成 while_loop 原语的辅助函数）：

lax.while_loop(cond_fun: (C -> bool), body_fun: (C -> C), init: C) -> C
lax.fori_loop(start: int, end: int, body: (int -> C -> C), init: C) -> C

在上面的签名中，C 代表循环“进位”值的类型。例如，这里是一个 fori_loop 的例子：

import numpy as np

def func10(arg, n):
  ones = jnp.ones(arg.shape)  # A constant.
  return lax.fori_loop(0, n,
                       lambda i, carry: carry + ones * 3. + arg,
                       arg + ones)

print(make_jaxpr(func10)(np.ones(16), 5))

{ lambda ; a:f32[16] b:i32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(16,)] 1.0
    d:f32[16] = add a c
    _:i32[] _:i32[] e:f32[16] = while[
      body_jaxpr={ lambda ; f:f32[16] g:f32[16] h:i32[] i:i32[] j:f32[16]. let
          k:i32[] = add h 1
          l:f32[16] = mul f 3.0
          m:f32[16] = add j l
          n:f32[16] = add m g
        in (k, i, n) }
      body_nconsts=2
      cond_jaxpr={ lambda ; o:i32[] p:i32[] q:f32[16]. let
          r:bool[] = lt o p
        in (r,) }
      cond_nconsts=0
    ] c a 0 b d
  in (e,) }

while 原语接受5个参数：c a 0 b d，如下所示：

  • cond_jaxpr 的常量（因为 cond_nconsts 是 0）

  • body_jaxpr 的 2 个常量 (c, 和 a)

  • 初始进位的3个参数

scan 原语#

JAX 支持一种特殊形式的循环，用于遍历数组的元素（形状是静态已知的）。由于迭代次数是固定的，这种形式的循环很容易进行反向微分。这种循环是通过 jax.lax.scan() 函数构建的：

lax.scan(body_fun: (C -> A -> (C, B)), init_carry: C, in_arr: Array[A]) -> (C, Array[B])

这是用 Haskell 类型签名 表示的：C 是 scan 进位的类型，A 是输入数组元素的类型，B 是输出数组元素的类型。

以以下函数 func11 为例：

def func11(arr, extra):
  ones = jnp.ones(arr.shape)  #  A constant
  def body(carry, aelems):
    # carry: running dot-product of the two arrays
    # aelems: a pair with corresponding elements from the two arrays
    ae1, ae2 = aelems
    return (carry + ae1 * ae2 + extra, carry)
  return lax.scan(body, 0., (arr, ones))

print(make_jaxpr(func11)(np.ones(16), 5.))

{ lambda ; a:f32[16] b:f32[]. let
    c:f32[16] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(16,)] 1.0
    d:f32[] e:f32[16] = scan[
      _split_transpose=False
      jaxpr={ lambda ; f:f32[] g:f32[] h:f32[] i:f32[]. let
          j:f32[] = mul h i
          k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] g
          l:f32[] = add k j
          m:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] f
          n:f32[] = add l m
        in (n, g) }
      length=16
      linear=(False, False, False, False)
      num_carry=1
      num_consts=1
      reverse=False
      unroll=1
    ] b 0.0 a c
  in (d, e) }

linear 参数描述了每个输入变量是否保证在线性体内使用。一旦 scan 完成线性化，将会有更多的参数变为线性。

scan 原语接受4个参数：b 0.0 a c，其中：

  • 一个是主体的自由变量

  • 一是进位的初始值

  • 接下来的两个是扫描操作所涉及的数组

(p)jit 原语#

调用原语源自JIT编译，它封装了一个子jaxpr以及指定计算应运行的后端和设备的参数。例如：

from jax import jit

def func12(arg):
  @jit
  def inner(x):
    return x + arg * jnp.ones(1)  # Include a constant in the inner function.
  return arg + inner(arg - 2.)

print(make_jaxpr(func12)(1.))

{ lambda ; a:f32[]. let
    b:f32[] = sub a 2.0
    c:f32[1] = pjit[
      name=inner
      jaxpr={ lambda ; d:f32[] e:f32[]. let
          f:f32[1] = broadcast_in_dim[broadcast_dimensions=() shape=(1,)] 1.0
          g:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] d
          h:f32[1] = mul g f
          i:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] e
          j:f32[1] = add i h
        in (j,) }
    ] a b
    k:f32[] = convert_element_type[new_dtype=float32 weak_type=False] a
    l:f32[1] = add k c
  in (l,) }
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