scipy.optimize.

牛顿

scipy.optimize.newton(func, x0, fprime=None, args=(), tol=1.48e-08, maxiter=50, fprime2=None, x1=None, rtol=0.0, full_output=False, disp=True)

使用牛顿-拉夫森（或割线法或哈雷法）方法求解实数或复数函数的根。

找到标量值函数 func 在给定邻近标量起点 x0 处的根。如果提供了 func 的导数 fprime，则使用牛顿-拉夫森方法；否则使用割线法。如果还提供了 func 的二阶导数 fprime2，则使用哈雷方法。

如果 x0 是一个包含多个元素的序列，newton 返回一个数组：从 x0 中每个（标量）起始点开始，函数的根。在这种情况下，func 必须被向量化，以返回与其第一个参数相同形状的序列或数组。如果提供了 fprime`（或 `fprime2），那么它的返回值也必须具有相同的形状：每个元素是 func 对其唯一变量的第一（第二）导数，在第一个参数的每个元素处求值。

newton 用于寻找单变量标量值函数的根。对于涉及多个变量的问题，请参见 root。

参数:

函数可调用

想要找到其根的函数。它必须是一个单变量的函数，形式为 f(x,a,b,c...)，其中 a,b,c... 是可以在 args 参数中传递的额外参数。

x0浮点数, 序列, 或 ndarray

一个初始的根估计值，应该接近实际的根。如果不是标量，那么 func 必须向量化，并返回与其第一个参数形状相同的序列或数组。

fprime可调用，可选

当函数导数可用且方便时。如果为 None（默认），则使用割线法。

参数tuple, 可选

在函数调用中使用的额外参数。

tolfloat, 可选

根值的允许误差。如果 func 是复数值，建议使用较大的 tol，因为 x 的实部和虚部都会对 |x - x0| 产生贡献。

maxiterint, 可选

最大迭代次数。

fprime2可调用，可选

当函数的二阶导数可用且方便时。如果为 None（默认），则使用普通的牛顿-拉弗森法或割线法。如果不为 None，则使用哈雷法。

x1float, 可选

另一个估计的根，应该在实际根的附近。如果未提供 fprime ，则使用此估计。

rtolfloat, 可选

终止的容差（相对）。

完整输出bool, 可选

如果 full_output 为 False（默认），则返回根。如果为 True 且 x0 是标量，返回值为 (x, r)，其中 x 是根，r 是一个 RootResults 对象。如果为 True 且 x0 是非标量，返回值为 ``(x, converged, zero_der)``（详见返回部分）。

dispbool, 可选

如果为 True，则在算法未收敛时引发 RuntimeError，错误消息包含迭代次数和当前函数值。否则，收敛状态记录在 RootResults 返回对象中。如果 x0 不是标量，则忽略此参数。注意：这与显示无关，但由于向后兼容性，`disp` 关键字不能重命名。

返回:

根浮点数, 序列, 或 ndarray

函数为零的估计位置。

r : RootResults, 可选RootResults，可选

如果 full_output=True 且 x0 是标量，则存在。包含有关收敛信息的对象。特别是，如果例程收敛，则 r.converged 为 True。

收敛布尔值的 ndarray，可选

如果 full_output=True 且 x0 为非标量，则存在。对于向量函数，指示哪些元素成功收敛。

zero_der布尔值的 ndarray，可选

如果 full_output=True 且 x0 是非标量，则存在。对于向量函数，指示哪些元素具有零导数。

参见

root_scalar

标量函数根求解器的接口

root

多输入、多输出函数的根求解器接口

注释

牛顿-拉夫森方法的收敛速度是二次的，Halley方法是三次的，而割线方法是次二次的。这意味着如果函数表现良好，第n次迭代后的实际误差大约是第(n-1)步误差的平方（对于Halley方法则是立方）。然而，这里使用的停止准则是步长，并不能保证已经找到根。因此，结果应进行验证。更安全的算法是brentq、brenth、ridder和bisect，但它们都要求根首先被夹在函数改变符号的区间内。当找到这样的区间时，brentq算法推荐用于一维问题的一般使用。

当 newton 与数组一起使用时，它最适合以下类型的问题：

• 初始猜测值 x0 都相对地与根的距离相同。

• 一些或所有的额外参数，args，也是数组，以便可以一起解决一类相似的问题。

• 初始猜测值 x0 的大小超过 O(100) 个元素。否则，一个简单的循环可能表现得和向量化一样好，甚至更好。

示例

Try it in your browser!

>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from scipy import optimize

>>> def f(x):
...     return (x**3 - 1)  # only one real root at x = 1

fprime 未提供，使用割线法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5)
>>> root
1.0000000000000016
>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0000000000000016

仅提供 fprime ，使用牛顿-拉夫森方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2)
>>> root
1.0

提供了 fprime2 和 fprime，使用 Halley 方法：

>>> root = optimize.newton(f, 1.5, fprime=lambda x: 3 * x**2,
...                        fprime2=lambda x: 6 * x)
>>> root
1.0

当我们想要为一组相关的初始值和/或函数参数找到根时，我们可以将这两者作为输入数组提供：

>>> f = lambda x, a: x**3 - a
>>> fder = lambda x, a: 3 * x**2
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.standard_normal(100)
>>> a = np.arange(-50, 50)
>>> vec_res = optimize.newton(f, x, fprime=fder, args=(a, ), maxiter=200)

上述等同于在for循环中分别求解 (x, a) 中的每个值，只是速度更快：

>>> loop_res = [optimize.newton(f, x0, fprime=fder, args=(a0,),
...                             maxiter=200)
...             for x0, a0 in zip(x, a)]
>>> np.allclose(vec_res, loop_res)
True

绘制所有 a 值的结果：

>>> analytical_result = np.sign(a) * np.abs(a)**(1/3)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.plot(a, analytical_result, 'o')
>>> ax.plot(a, vec_res, '.')
>>> ax.set_xlabel('$a$')
>>> ax.set_ylabel('$x$ where $f(x, a)=0$')
>>> plt.show()

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