scipy.signal.

残基

scipy.signal.residue(b, a, tol=0.001, rtype='avg')

计算 b(s) / a(s) 的部分分式展开。

如果 M 是分子 b 的次数，N 是分母 a 的次数:

        b(s)     b[0] s**(M) + b[1] s**(M-1) + ... + b[M]
H(s) = ------ = ------------------------------------------
        a(s)     a[0] s**(N) + a[1] s**(N-1) + ... + a[N]

那么部分分式展开 H(s) 定义为:

    r[0]       r[1]             r[-1]
= -------- + -------- + ... + --------- + k(s)
  (s-p[0])   (s-p[1])         (s-p[-1])

如果存在任何重复的根（比 tol 更接近），那么 H(s) 会有如下形式的项:

  r[i]      r[i+1]              r[i+n-1]
-------- + ----------- + ... + -----------
(s-p[i])  (s-p[i])**2          (s-p[i])**n

此函数用于 s 或 z 的正幂多项式，例如控制工程中的模拟滤波器或数字滤波器。对于 z 的负幂（数字信号处理中数字滤波器的典型情况），请使用 residuez。

有关算法的详细信息，请参阅注释。

参数:

barray_like

分子多项式系数。

aarray_like

分母多项式系数。

tolfloat, 可选

在考虑两个根之间的距离时，认为它们相等的容差。默认值为 1e-3。更多详情请参见 unique_roots。

rtype{‘avg’, ‘min’, ‘max’}, 可选

计算表示一组相同根的根的方法。默认是 ‘avg’。更多详情请参见 unique_roots。

返回:

rndarray

对应于极点的留数。对于重复极点，留数按幂次升序排列。

pndarray

按大小升序排列的极点。

kndarray

直接多项式项的系数。

参见

invres, residuez, numpy.poly, unique_roots

注释

“通过减法实现通缩”算法用于计算 — 方法 6 在 [1]。

部分分式展开的形式取决于极点的重数，这在精确的数学意义上是正确的。然而，在数值计算中无法精确确定多项式根的重数。因此，您应该将给定 tol 的 residue 结果视为由经验确定重数的计算极点组成的分母的部分分式展开。如果存在接近的极点，tol 的选择会极大地改变结果。

参考文献

[1]

J. F. Mahoney, B. D. Sivazlian, “Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency”, Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 9, 1983.