scipy.special.

roots_legendre#

scipy.special.roots_legendre(n, mu=False)[源代码][源代码]#

高斯-勒让德积分。

计算Gauss-Legendre积分[Rf56b2625d086-GL]_的样本点和权重。样本点是第n次Legendre多项式:math:`P_n(x)`的根。这些样本点和权重正确地积分了在区间:math:`[-1, 1]`上，权重函数:math:`w(x) = 1`的次数:math:`2n - 1`或更少的多项式。更多细节请参见[Rf56b2625d086-AS]_中的2.2.10。

参数:
n整数

求积阶数

mubool, 可选

如果为真，返回权重的总和，可选。

返回:
xndarray

示例点

wndarray

权重

mu浮动

权重之和

参见

scipy.integrate.quadrature
scipy.integrate.fixed_quad
numpy.polynomial.legendre.leggauss

参考文献

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 编。《带有公式、图表和数学表格的数学函数手册》。纽约：Dover，1972年。

[GL]

Gauss-Legendre 求积法, 维基百科, https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Legendre_quadrature

示例

>>> import numpy as np
>>> from scipy.special import roots_legendre, eval_legendre
>>> roots, weights = roots_legendre(9)

roots 存储了高斯-勒让德积分的根，而 weights 存储了相应的权重。

>>> roots
array([-0.96816024, -0.83603111, -0.61337143, -0.32425342,  0.        ,
        0.32425342,  0.61337143,  0.83603111,  0.96816024])
>>> weights
array([0.08127439, 0.18064816, 0.2606107 , 0.31234708, 0.33023936,
       0.31234708, 0.2606107 , 0.18064816, 0.08127439])

通过在 roots 处评估9次勒让德多项式来验证我们是否拥有根。所有值都近似为零：

>>> eval_legendre(9, roots)
array([-8.88178420e-16, -2.22044605e-16,  1.11022302e-16,  1.11022302e-16,
        0.00000000e+00, -5.55111512e-17, -1.94289029e-16,  1.38777878e-16,
       -8.32667268e-17])

这里我们将展示如何使用上述值来估计从1到2的积分 f(t) = t + 1/t 使用高斯-勒让德求积法 [GL]。首先定义函数和积分限。

>>> def f(t):
...    return t + 1/t
...
>>> a = 1
>>> b = 2

我们将使用 integral(f(t), t=a, t=b) 来表示从 t=a 到 t=b 的 f 的定积分。roots 中的样本点来自区间 [-1, 1]，因此我们将通过简单的变量替换来重写积分:

x = 2/(b - a) * t - (a + b)/(b - a)

with inverse:

t = (b - a)/2 * x + (a + 2)/2

然后:

integral(f(t), a, b) =
    (b - a)/2 * integral(f((b-a)/2*x + (a+b)/2), x=-1, x=1)

我们可以用 roots_legendre 返回的值来近似后一个积分。

将上面计算的根从 [-1, 1] 映射到 [a, b]。

>>> t = (b - a)/2 * roots + (a + b)/2

将积分近似为函数值的加权和。

>>> (b - a)/2 * f(t).dot(weights)
2.1931471805599276

将其与精确结果进行比较，即 3/2 + log(2)：

>>> 1.5 + np.log(2)
2.1931471805599454
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