numpy.cov

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)

给定数据和权重,估计一个协方差矩阵.

协方差表示两个变量共同变化的程度.如果我们检查 N 维样本,:math:X = [x_1, x_2, … x_N]^T,那么协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差.元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差.

请参阅注释以了解算法的概要.

参数:

marray_like

一个包含多个变量和观测值的1维或2维数组.`m` 的每一行代表一个变量,每一列代表所有这些变量的一个单独观测值.另请参见下面的 rowvar.

yarray_like, 可选

一组额外的变量和观察.`y` 的形式与 m 相同.

rowvar布尔值, 可选

如果 rowvar 为 True（默认）,则每一行表示一个变量,观测值在列中.否则,关系被转置:每一列表示一个变量,而行包含观测值.

bias布尔值, 可选

默认归一化（False）是通过 (N - 1),其中 N 是给定的观测数（无偏估计）.如果 bias 为 True,则归一化是通过 N.这些值可以通过在 numpy 版本 >= 1.5 中使用关键字 ddof 来覆盖.

ddofint, 可选

如果不是 None ,则由 bias 隐含的默认值将被覆盖.注意,即使同时指定了 fweights 和 aweights ,``ddof=1`` 也会返回无偏估计,而 ddof=0 将返回简单平均.详见备注.默认值是 None.

在 1.5 版本加入.

fweightsarray_like, int, 可选

整数频率权重的1-D数组;每个观测向量应重复的次数.

在 1.10 版本加入.

aweightsarray_like, 可选

观测向量权重的1-D数组.这些相对权重通常对于被认为是”重要”的观测值较大,而对于被认为是较不”重要”的观测值较小.如果 ddof=0 ,权重数组可以用于为观测向量分配概率.

在 1.10 版本加入.

dtype数据类型, 可选

结果的数据类型.默认情况下,返回的数据类型将至少具有 numpy.float64 精度.

在 1.20 版本加入.

返回:

outndarray

变量的协方差矩阵.

参见

corrcoef

归一化协方差矩阵

备注

假设观测值在观测数组 m 的列中,为了简洁起见,设 f = fweights 和 a = aweights.计算加权协方差的步骤如下:

>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64)
>>> f = np.arange(10) * 2
>>> a = np.arange(10) ** 2.
>>> ddof = 1
>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

注意,当 a == 1 时,归一化因子 v1 / (v1**2 - ddof * v2) 应该变为 1 / (np.sum(f) - ddof).

示例

>>> import numpy as np

考虑两个变量,:math:x_0 和 \(x_1\),它们完全相关,但方向相反:

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

注意 \(x_0\) 如何增加而 \(x_1\) 如何减少.协方差矩阵清楚地显示了这一点:

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

注意元素 \(C_{0,1}\) ,它显示了 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间的相关性,是负的.

此外,注意 x 和 y 是如何结合的:

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> np.cov(X)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x, y)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x)
array(11.71)