线性代数 (numpy.linalg)

NumPy 的线性代数函数依赖于 BLAS 和 LAPACK 来提供高效的低级标准线性代数算法实现.这些库可能由 NumPy 本身使用其参考实现的一个子集的 C 版本提供,但当可能时,优先使用高度优化的库,这些库利用了专门的处理器功能.此类库的例子包括 OpenBLAS、MKL (TM) 和 ATLAS.由于这些库是多线程的且依赖于处理器,可能需要环境变量和外部包如 threadpoolctl 来控制线程数或指定处理器架构.

SciPy 库还包含一个 linalg 子模块,SciPy 和 NumPy 子模块提供的一些功能有重叠.SciPy 包含 numpy.linalg 中没有的函数,例如与 LU 分解和 Schur 分解相关的函数,多种计算伪逆的方法,以及矩阵超越函数如矩阵对数.一些在两个模块中都存在的函数在 scipy.linalg 中有增强的功能.例如,`scipy.linalg.eig` 可以接受第二个矩阵参数来解决广义特征值问题.然而,NumPy 中的一些函数有更灵活的广播选项.例如,`numpy.linalg.solve` 可以处理”堆叠”的数组,而 scipy.linalg.solve 只接受一个单一的方形数组作为其第一个参数.

备注

本页中使用的术语 matrix 指的是一个二维的 numpy.array 对象,而不是 numpy.matrix 对象.后者不再推荐使用,即使是对于线性代数.更多信息请参见 矩阵对象文档.

@ 运算符

在 NumPy 1.10.0 中引入的 @ 运算符在计算两个二维数组之间的矩阵乘积时优于其他方法.:func:numpy.matmul 函数实现了 @ 运算符.

矩阵和向量积

dot(a, b[, out])	两个数组的点积.
linalg.multi_dot(arrays, *[, out])	在一个函数调用中计算两个或更多数组的点积,同时自动选择最快的评估顺序.
vdot(a, b, /)	返回两个向量的点积.
vecdot(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	两个数组的向量点积.
linalg.vecdot(x1, x2, /, *[, axis])	计算向量点积.
inner(a, b, /)	两个数组的内积.
outer(a, b[, out])	计算两个向量的外积.
matmul(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])	两个数组的矩阵乘积.
linalg.matmul(x1, x2, /)	计算矩阵乘积.
tensordot(a, b[, axes])	计算沿指定轴的张量点积.
linalg.tensordot(x1, x2, /, *[, axes])	计算沿指定轴的张量点积.
einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...])	对操作数进行爱因斯坦求和约定评估.
einsum_path(subscripts, *operands[, optimize])	通过考虑中间数组的创建,评估einsum表达式的最低成本收缩顺序.
linalg.matrix_power(a, n)	将一个方阵提升到（整数）幂 n.
kron(a, b)	两个数组的克罗内克积.
linalg.cross(x1, x2, /, *[, axis])	返回3元素向量的叉积.

分解

linalg.cholesky(a, /, *[, upper])	Cholesky 分解.
linalg.outer(x1, x2, /)	计算两个向量的外积.
linalg.qr(a[, mode])	计算矩阵的qr分解.
linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv, ...])	奇异值分解.
linalg.svdvals(x, /)	返回矩阵（或矩阵堆栈）``x`` 的奇异值.

矩阵特征值

linalg.eig(a)	计算一个方阵的特征值和右特征向量.
linalg.eigh(a[, UPLO])	返回复数厄米特（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量.
linalg.eigvals(a)	计算一般矩阵的特征值.
linalg.eigvalsh(a[, UPLO])	计算复数厄米矩阵或实对称矩阵的特征值.

规范和其他数字

linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims])	矩阵或向量范数.
linalg.matrix_norm(x, /, *[, keepdims, ord])	计算矩阵（或矩阵堆栈）``x`` 的矩阵范数.
linalg.vector_norm(x, /, *[, axis, ...])	计算向量（或向量批）``x`` 的向量范数.
linalg.cond(x[, p])	计算矩阵的条件数.
linalg.det(a)	计算数组的行列式.
linalg.matrix_rank(A[, tol, hermitian, rtol])	使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩
linalg.slogdet(a)	计算数组的符号和（自然）对数行列式.
trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out])	返回数组对角线上的和.
linalg.trace(x, /, *[, offset, dtype])	返回矩阵（或矩阵堆栈）``x`` 沿指定对角线的和.

求解方程和矩阵求逆

linalg.solve(a, b)	求解线性矩阵方程,或线性标量方程组.
linalg.tensorsolve(a, b[, axes])	求解张量方程 a x = b 中的 x.
linalg.lstsq(a, b[, rcond])	返回线性矩阵方程的最小二乘解.
linalg.inv(a)	计算矩阵的逆.
linalg.pinv(a[, rcond, hermitian, rtol])	计算矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆.
linalg.tensorinv(a[, ind])	计算一个 N 维数组的 '逆'.

其他矩阵操作

diagonal(a[, offset, axis1, axis2])	返回指定的对角线.
linalg.diagonal(x, /, *[, offset])	返回矩阵（或矩阵堆栈）``x`` 的指定对角线.
linalg.matrix_transpose(x, /)	转置一个矩阵（或一组矩阵）``x``.

异常

linalg.LinAlgError

由 linalg 函数引发的通用 Python 异常派生对象.

同时对多个矩阵进行线性代数运算

在 1.8.0 版本加入.

上面列出的几个线性代数例程能够计算多个矩阵的结果,如果它们被堆叠到同一个数组中.

这在文档中通过输入参数规范来表示,例如 a : (..., M, M) array_like.这意味着如果给定一个输入数组 a.shape == (N, M, M),它被解释为一个”堆栈”的 N 个矩阵,每个矩阵的大小为 M×M.类似的规范适用于返回值,例如行列式有 det : (...) 并且在这种情况下将返回一个形状为 det(a).shape == (N,) 的数组.这推广到高维数组的线性代数运算:多维数组的最后 1 或 2 个维度被解释为向量或矩阵,根据每个操作的需要.