numpy.linalg.pinv#

linalg.pinv(a, rcond=None, hermitian=False, *, rtol=<no value>)[源代码]#

计算矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆.

使用矩阵的奇异值分解（SVD）计算其广义逆,并包括所有*大*奇异值.

在 1.14 版本发生变更: 现在可以操作矩阵堆栈

参数:

a(…, M, N) array_like: 要被伪逆的矩阵或矩阵堆栈.
rcond（…）类数组浮点数,可选: 小奇异值的截断.小于或等于 rcond * largest_singular_value 的奇异值被设置为零.针对矩阵堆栈进行广播.默认值:1e-15.
hermitianbool, 可选: 如果为真,假设 a 是 Hermitian（如果实值则为对称）,这样可以更有效地找到奇异值.默认为 False.

在 1.17.0 版本加入.
rtol（…）类数组浮点数,可选: 与 rcond 相同,但这是一个符合 Array API 的参数名称.一次只能设置 rcond 或 rtol.如果两者都没有提供,则使用 NumPy 的 1e-15 默认值.如果传递 rtol=None,则使用 API 标准默认值.

在 2.0.0 版本加入.

返回:

B(…, N, M) ndarray: a 的伪逆.如果 a 是一个 matrix 实例,那么 B 也是一个 matrix 实例.

引发:

LinAlgError: 如果SVD计算不收敛.

参见

scipy.linalg.pinv: SciPy 中的类似功能.
scipy.linalg.pinvh: 计算厄米矩阵的（摩尔-彭罗斯）伪逆.

备注

矩阵 A 的伪逆,记作 \(A^+\),定义为:”解决[最小二乘问题] \(Ax = b\) 的矩阵”,即,如果 \(\bar{x}\) 是该解,那么 \(A^+\) 是使得 \(\bar{x} = A^+b\) 的矩阵.

可以证明,如果 \(Q_1 \Sigma Q_2^T = A\) 是 A 的奇异值分解,那么 \(A^+ = Q_2 \Sigma^+ Q_1^T\),其中 \(Q_{1,2}\) 是正交矩阵,:math:Sigma 是由 A 的所谓奇异值组成的对角矩阵（通常后面跟着零）,而 \(\Sigma^+\) 则是由 A 的奇异值的倒数组成的对角矩阵（同样,后面跟着零）. [1]

参考文献

[1]

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, pp. 139-142.

示例

以下示例检查 a * a+ * a == a 和 a+ * a * a+ == a+:

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6))
>>> B = np.linalg.pinv(a)
>>> np.allclose(a, np.dot(a, np.dot(B, a)))
True
>>> np.allclose(B, np.dot(B, np.dot(a, B)))
True