scipy.optimize.

newton_krylov#

scipy.optimize.newton_krylov(F, xin, iter=None, rdiff=None, method='lgmres', inner_maxiter=20, inner_M=None, outer_k=10, verbose=False, maxiter=None, f_tol=None, f_rtol=None, x_tol=None, x_rtol=None, tol_norm=None, line_search='armijo', callback=None, **kw)#

使用Krylov近似逆雅可比矩阵求解函数的根。

这种方法适用于解决大规模问题。

参数:
Ffunction(x) -> f

要查找其根的函数；应接受并返回类似数组的对象。

xinarray_like

解决方案的初步猜测

rdifffloat, 可选

在数值微分中使用的相对步长。

方法str 或 callable，可选

用于近似雅可比矩阵的Krylov方法。可以是一个字符串，或者是一个实现与`scipy.sparse.linalg`中的迭代求解器相同接口的函数。如果是字符串，需要是以下之一：'lgmres'、'gmres'、'bicgstab'、'cgs'、'minres'、'tfqmr'。

默认值是 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_maxiterint, 可选

传递给“内部”Krylov 求解器的参数：最大迭代次数。即使未达到指定的容差，迭代也将在 maxiter 步后停止。

inner_MLinearOperator 或 InverseJacobian

内部Krylov迭代的预处理器。请注意，您也可以使用逆雅可比矩阵作为（自适应）预处理器。例如，

>>> from scipy.optimize import BroydenFirst, KrylovJacobian
>>> from scipy.optimize import InverseJacobian
>>> jac = BroydenFirst()
>>> kjac = KrylovJacobian(inner_M=InverseJacobian(jac))

如果预条件器有一个名为 ‘update’ 的方法，它将在每次非线性步骤后被调用为 update(x, f)，其中 x 给出当前点，f 是当前函数值。

outer_kint, 可选

在LGMRES非线性迭代中保留的子空间大小。详见 scipy.sparse.linalg.lgmres。

inner_kwargskwargs

“内部”Krylov求解器的关键字参数（使用 method 定义）。参数名称必须以 inner_ 前缀开头，该前缀在传递给内部方法之前将被去除。详情请参见，例如 scipy.sparse.linalg.gmres。

iterint, 可选

要进行的迭代次数。如果省略（默认），则进行尽可能多的迭代以满足容差要求。

详细bool, 可选

在每次迭代时将状态打印到标准输出。

maxiterint, 可选

最大迭代次数。如果需要更多次数才能达到收敛，则会引发 NoConvergence。

f_tolfloat, 可选

残差的绝对容差（在最大范数中）。如果省略，默认值为 6e-6。

f_rtolfloat, 可选

残差的相对容差。如果省略，则不使用。

x_tolfloat, 可选

绝对最小步长，由雅可比近似确定。如果步长小于此值，则优化成功终止。如果省略，则不使用。

x_rtolfloat, 可选

相对最小步长。如果省略，则不使用。

tol_normfunction(vector) -> 标量, 可选

用于收敛检查的范数。默认是最大范数。

line_search{None, ‘armijo’ (默认), ‘wolfe’}, 可选

使用哪种类型的线搜索来确定由雅可比近似给出的方向中的步长。默认为 ‘armijo’。

回调函数, 可选

可选的回调函数。它在每次迭代时被调用，形式为 callback(x, f)，其中 x 是当前的解，f 是对应的残差。

返回:
solndarray

一个数组（与 x0 类型相同的数组），包含最终的解。

Raises:
NoConvergence

当未找到解决方案时。

参见

root

用于多元函数根查找算法的接口。特别参见 method='krylov'。

scipy.sparse.linalg.gmres
scipy.sparse.linalg.lgmres

注释

此函数实现了一个 Newton-Krylov 求解器。其基本思想是使用迭代 Krylov 方法计算雅可比矩阵的逆。这些方法只需要计算雅可比矩阵-向量乘积，这可以通过有限差分方便地近似：

\[J v \approx (f(x + \omega*v/|v|) - f(x)) / \omega\]

由于使用了迭代矩阵求逆，这些方法可以处理大型非线性问题。

SciPy 的 scipy.sparse.linalg 模块提供了一系列的 Krylov 求解器供选择。默认使用的是 lgmres，这是重启 GMRES 迭代的一个变种，它在后续步骤中反转雅可比矩阵时，会重用之前牛顿步骤中获得的一些信息。

关于牛顿-克雷洛夫方法的回顾，参见例如 [1]，而对于LGMRES稀疏逆方法，参见 [2]。

参考文献

[1]

C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method, SIAM, pp.57-83, 2003. DOI:10.1137/1.9780898718898.ch3

[2]

D.A. Knoll 和 D.E. Keyes, J. Comp. Phys. 193, 357 (2004). DOI:10.1016/j.jcp.2003.08.010

[3]

A.H. Baker 和 E.R. Jessup 和 T. Manteuffel, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26, 962 (2005). DOI:10.1137/S0895479803422014

示例

以下函数定义了一个非线性方程组

>>> def fun(x):
...     return [x[0] + 0.5 * x[1] - 1.0,
...             0.5 * (x[1] - x[0]) ** 2]

解决方案可以如下获得。

>>> from scipy import optimize
>>> sol = optimize.newton_krylov(fun, [0, 0])
>>> sol
array([0.66731771, 0.66536458])
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