Yule-Simon 分布#
参数为 \(\alpha>0\) 的 Yule-Simon 随机变量可以表示为指数随机变量的混合。为此，将 \(W\) 表示为速率为 \(\rho\) 的指数随机变量，以及概率为 \(1-exp(-W)\) 的几何随机变量 \(K\)，那么 \(K\) 在边缘上具有 Yule-Simon 分布。上述潜在变量表示用于随机变量生成。
\begin{eqnarray*}
p \left( k; \alpha \right) & = & \alpha \frac{\Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)} \\
F \left( k; \alpha \right) & = & 1 - \frac{ k \Gamma\left(k\right)\Gamma\left(\alpha + 1\right)}{\Gamma\left(k+\alpha+1\right)}
\end{eqnarray*}
对于 \(k = 1,2,...\)。
现在
\begin{eqnarray*} \mu & = & \frac{\alpha}{\alpha-1}\\
\mu_{2} & = & \frac{\alpha^2}{\left(\alpha-1\right)^2\left( \alpha - 2 \right)}\\
\gamma_{1} & = & \frac{ \sqrt{\left( \alpha - 2 \right)} \left( \alpha + 1 \right)^2}{ \alpha \left( \alpha - 3 \right)}\\
\gamma_{2} & = & \frac{ \left(\alpha + 3\right) + \left(\alpha^3 - 49\alpha - 22\right)}{\alpha \left(\alpha - 4\right)\left(\alpha - 3 \right) }
\end{eqnarray*}
对于 \(\alpha>1\)，否则均值是无限的，方差不存在。对于方差，\(\alpha>2\)，否则方差不存在。类似地，对于偏度和峰度是有限的，分别需要 \(\alpha>3\) 和 \(\alpha>4\)。