概述
离散随机变量仅取可数个值。常用的分布包含在SciPy中，并在本文档中进行了描述。每个离散分布可以额外接受一个整数参数：\(L.\) 一般分布 \(p\) 与标准分布 \(p_{0}\) 之间的关系为
\[p\left(x\right) = p_{0}\left(x-L\right)\]
这允许对输入进行移位。当分布生成器初始化时，离散分布可以指定起始和结束（整数）值 \(a\) 和 \(b\)，必须满足
\[p_{0}\left(x\right) = 0\quad x < a \textrm{ 或 } x > b\]
在这种情况下，假设概率密度函数在整数 \(a+mk\leq b\) 上指定，其中 \(k\) 是非负整数（\(0,1,2,\ldots\)），\(m\) 是正整数乘数。或者，可以直接提供两个列表 \(x_{k}\) 和 \(p\left(x_{k}\right)\)，在这种情况下，内部会设置一个字典来评估概率并生成随机变量。
概率质量函数（PMF）
随机变量X的概率质量函数定义为随机变量取特定值的概率。
\[p\left(x_{k}\right)=P\left[X=x_{k}\right]\]
这有时也称为概率密度函数，尽管从技术上讲
\[f\left(x\right)=\sum_{k}p\left(x_{k}\right)\delta\left(x-x_{k}\right)\]
是离散分布的概率密度函数 。
累积分布函数 (CDF)
累积分布函数为
\[F\left(x\right)=P\left[X\leq x\right]=\sum_{x_{k}\leq x}p\left(x_{k}\right)\]
并且计算它也很有用。注意
\[F\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k-1}\right)=p\left(x_{k}\right)\]
生存函数
生存函数即为
\[S\left(x\right)=1-F\left(x\right)=P\left[X>k\right]\]
表示随机变量严格大于 \(k\) 的概率。
分位点函数 (逆CDF)
分位点函数是累积分布函数的逆函数，即
\[G\left(q\right)=F^{-1}\left(q\right)\]
对于离散分布，必须针对不存在 \(x_{k}\) 使得 \(F\left(x_{k}\right)=q\) 的情况进行修改。在这些情况下，我们选择 \(G\left(q\right)\) 为满足 \(F\left(x_{k}\right)\geq q\) 的最小值 \(x_{k}=G\left(q\right)\)。如果 \(q=0\)，则我们定义 \(G\left(0\right)=a-1\)。此定义允许使用与连续随机变量相同的方式，通过在均匀分布上使用逆CDF来生成随机变量。
逆生存函数
逆生存函数是生存函数的逆函数
\[Z\left(\alpha\right)=S^{-1}\left(\alpha\right)=G\left(1-\alpha\right)\]
因此，它是满足 \(F\left(k\right)\geq1-\alpha\) 或满足 \(S\left(k\right)\leq\alpha\) 的最小非负整数 \(k\)。
危险函数
如果需要，危险函数和累积危险函数可以定义为
\[h\left(x_{k}\right)=\frac{p\left(x_{k}\right)}{1-F\left(x_{k}\right)}\]
以及
\[H\left(x\right)=\sum_{x_{k}\leq x}h\left(x_{k}\right)=\sum_{x_{k}\leq x}\frac{F\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k-1}\right)}{1-F\left(x_{k}\right)}.\]
矩
非中心矩使用概率密度函数（PDF）定义
\[\mu_{m}^{\prime}=E\left[X^{m}\right]=\sum_{k}x_{k}^{m}p\left(x_{k}\right).\]
中心矩的计算类似 \(\mu=\mu_{1}^{\prime}\)
\begin{eqnarray*} \mu_{m}=E\left[\left(X-\mu\right)^{m}\right] & = & \sum_{k}\left(x_{k}-\mu\right)^{m}p\left(x_{k}\right)\\ & = & \sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{m-k}\left(\begin{array}{c} m\\ k\end{array}\right)\mu^{m-k}\mu_{k}^{\prime}\end{eqnarray*}
均值是第一个矩
\[\mu=\mu_{1}^{\prime}=E\left[X\right]=\sum_{k}x_{k}p\left(x_{k}\right)\]
方差是第二个中心矩
\[\mu_{2}=E\left[\left(X-\mu\right)^{2}\right]=\sum_{x_{k}}x_{k}^{2}p\left(x_{k}\right)-\mu^{2}.\]
偏度定义为
\[\gamma_{1}=\frac{\mu_{3}}{\mu_{2}^{3/2}}\]
而（Fisher）峰度为
\[\gamma_{2}=\frac{\mu_{4}}{\mu_{2}^{2}}-3,\]
因此正态分布的峰度为零。
矩生成函数
矩生成函数定义为
\[M_{X}\left(t\right)=E\left[e^{Xt}\right]=\sum_{x_{k}}e^{x_{k}t}p\left(x_{k}\right)\]
矩可以通过在 \(0\) 处求矩生成函数的导数来找到。
拟合数据
为了将数据拟合到分布中，通常会最大化似然函数。或者，一些分布有已知的无偏最小方差估计量。这些将默认选择，但似然函数始终可用于最小化。
如果 \(f_{i}\left(k;\boldsymbol{\theta}\right)\) 是一个随机变量的概率密度函数，其中 \(\boldsymbol{\theta}\) 是一个参数向量（例如 \(L\) 和 \(S\)），那么对于从这个分布中抽取的 \(N\) 个独立样本的集合，随机向量 \(\mathbf{k}\) 的联合分布为
\[f\left(\mathbf{k};\boldsymbol{\theta}\right)=\prod_{i=1}^{N}f_{i}\left(k_{i};\boldsymbol{\theta}\right).\]
参数 \(\boldsymbol{\theta}\) 的最大似然估计是使该函数在 \(\mathbf{x}\) 固定且由数据给出时达到最大值的参数：
\begin{eqnarray*} \hat{\boldsymbol{\theta}} & = & \arg\max_{\boldsymbol{\theta}}f\left(\mathbf{k};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & \arg\min_{\boldsymbol{\theta}}l_{\mathbf{k}}\left(\boldsymbol{\theta}\right).\end{eqnarray*}
其中
\begin{eqnarray*} l_{\mathbf{k}}\left(\boldsymbol{\theta}\right) & = & -\sum_{i=1}^{N}\log f\left(k_{i};\boldsymbol{\theta}\right)\\ & = & -N\overline{\log f\left(k_{i};\boldsymbol{\theta}\right)}\end{eqnarray*}
标准均值符号
我们将使用
\[\overline{y\left(\mathbf{x}\right)}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y\left(x_{i}\right)\]
其中 \(N\) 应根据上下文明确。
组合
注意
\[k!=k\cdot\left(k-1\right)\cdot\left(k-2\right)\cdot\cdots\cdot1=\Gamma\left(k+1\right)\]
并且有特殊情况
\begin{eqnarray*} 0! & \equiv & 1\\ k! & \equiv & 0\quad k<0\end{eqnarray*}
以及
\[\begin{split}\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}.\end{split}\]
如果 \(n<0\) 或 \(k<0\) 或 \(k>n\)，我们定义 \(\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=0\)
