Wallenius’ 非中心超几何分布#

一个随机变量具有 Wallenius’ 非中心超几何分布，其参数为

\(M \in {\mathbb N}\), \(n \in [0, M]\), \(N \in [0, M]\), \(\omega > 0\),

如果其概率质量函数由以下公式给出

\[p(x; N, n, M) = \binom{n}{x} \binom{M - n}{N-x}\int_0^1 \left(1-t^{\omega/D}\right)^x\left(1-t^{1/D}\right)^{N-x} dt\]

对于 \(x \in [x_l, x_u]\), 其中 \(x_l = \max(0, N - (M - n))\), \(x_u = \min(N, n)\),

\[D = \omega(n - x) + ((M - n)-(N-x)),\]

而二项式系数为

\[\binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n - k)!}.\]

参考文献#