numpy.polynomial.hermite_e.hermefit#
- polynomial.hermite_e.hermefit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
Hermite 系列对数据的最小二乘拟合.
返回一个 HermiteE 系列的多项式系数,该系列的次数为 deg,并且是对给定在点 x 上的数据值 y 的最小二乘拟合.如果 y 是 1-D,则返回的系数也将是 1-D.如果 y 是 2-D,则进行多次拟合,每次拟合 y 的每一列,并且得到的多项式系数存储在 2-D 返回值的相应列中.拟合的多项式形式为
\[p(x) = c_0 + c_1 * He_1(x) + ... + c_n * He_n(x),\]其中 n 是 deg.
- 参数:
- x类数组,形状 (M,)
M 个样本点的 x 坐标
(x[i], y[i])
.- yarray_like, 形状 (M,) 或 (M, K)
样本点的 y 坐标.通过传入一个包含每列一个数据集的二维数组,可以同时拟合几个共享相同 x 坐标的样本点数据集.
- deg整数或1-D 类数组
拟合多项式的度数.如果 deg 是一个整数,则包括直到并包括第 deg 项的所有项.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包括的项的度数的整数列表.
- rcondfloat, 可选
拟合的相对条件数.相对于最大奇异值,奇异值小于此值将被忽略.默认值是 len(x)*eps,其中 eps 是浮点类型的相对精度,在大多数情况下约为 2e-16.
- fullbool, 可选
确定返回值性质的开关.当它为 False(默认值)时,仅返回系数,当为 True 时,还会返回来自奇异值分解的诊断信息.
- w : array_like, 形状 (M,), 可选array_like, 形状 (
权重.如果不是 None,权重
w[i]
适用于在x[i]
处的未平方残差y[i] - y_hat[i]
.理想情况下,权重的选择应使得产品w[i]*y[i]
的误差都具有相同的方差.使用逆方差加权时,使用w[i] = 1/sigma(y[i])
.默认值是 None.
- 返回:
- coefndarray, 形状 (M,) 或 (M, K)
从低到高排序的埃尔米特系数.如果 y 是二维的,则 y 列 k 数据的系数在列 k 中.
- [残差, 秩, 奇异值, rcond]列表
只有在
full == True
时,这些值才会被返回.残差 – 最小二乘拟合的残差平方和
rank – 缩放范德蒙矩阵的数值秩
singular_values – 缩放的 Vandermonde 矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值.
更多详情,请参见
numpy.linalg.lstsq
.
- 警告:
- RankWarning
在最小二乘拟合中,系数矩阵的秩不足.仅当
full = False
时才会引发警告.可以通过以下方式关闭警告:>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
参见
numpy.polynomial.chebyshev.chebfit
numpy.polynomial.legendre.legfit
numpy.polynomial.polynomial.polyfit
numpy.polynomial.hermite.hermfit
numpy.polynomial.laguerre.lagfit
hermeval
评估一个 Hermite 级数.
hermevander
Hermite 级数的伪 Vandermonde 矩阵.
hermeweight
HermiteE 权重函数.
numpy.linalg.lstsq
从矩阵中计算最小二乘拟合.
scipy.interpolate.UnivariateSpline
计算样条拟合.
备注
解决方案是 HermiteE 系列 p 的系数,这些系数使加权平方误差的总和最小化.
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重.这个问题通过建立(通常)超定的矩阵方程来解决
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的伪范德蒙矩阵,`c` 的元素是要解的系数,`y` 的元素是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来解这个方程.
如果 V 的一些奇异值非常小以至于被忽略,那么会发出一个 RankWarning.这意味着系数值可能确定得很差.使用较低阶的拟合通常可以消除警告.`rcond` 参数也可以设置为比默认值更小的值,但由此产生的拟合可能是虚假的,并且由于舍入误差而有较大的贡献.
使用 HermiteE 系列拟合在数据可以近似为
sqrt(w(x)) * p(x)
时可能最有用,其中w(x)
是 HermiteE 权重.在这种情况下,应使用权重sqrt(w(x[i]))
与数据值y[i]/sqrt(w(x[i]))
一起使用.权重函数可用作hermeweight
.参考文献
[1]Wikipedia, “曲线拟合”, https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial.hermite_e import hermefit, hermeval >>> x = np.linspace(-10, 10) >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(scale=1./10, size=len(x)) >>> y = hermeval(x, [1, 2, 3]) + err >>> hermefit(x, y, 2) array([1.02284196, 2.00032805, 2.99978457]) # may vary