numpy.polynomial.hermite_e.hermefit#

polynomial.hermite_e.hermefit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#

Hermite 系列对数据的最小二乘拟合.

返回一个 HermiteE 系列的多项式系数,该系列的次数为 deg,并且是对给定在点 x 上的数据值 y 的最小二乘拟合.如果 y 是 1-D,则返回的系数也将是 1-D.如果 y 是 2-D,则进行多次拟合,每次拟合 y 的每一列,并且得到的多项式系数存储在 2-D 返回值的相应列中.拟合的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * He_1(x) + ... + c_n * He_n(x),\]

其中 ndeg.

参数:
x类数组,形状 (M,)

M 个样本点的 x 坐标 (x[i], y[i]).

yarray_like, 形状 (M,) 或 (M, K)

样本点的 y 坐标.通过传入一个包含每列一个数据集的二维数组,可以同时拟合几个共享相同 x 坐标的样本点数据集.

deg整数或1-D 类数组

拟合多项式的度数.如果 deg 是一个整数,则包括直到并包括第 deg 项的所有项.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包括的项的度数的整数列表.

rcondfloat, 可选

拟合的相对条件数.相对于最大奇异值,奇异值小于此值将被忽略.默认值是 len(x)*eps,其中 eps 是浮点类型的相对精度,在大多数情况下约为 2e-16.

fullbool, 可选

确定返回值性质的开关.当它为 False(默认值)时,仅返回系数,当为 True 时,还会返回来自奇异值分解的诊断信息.

w : array_like, 形状 (M,), 可选array_like, 形状 (

权重.如果不是 None,权重 w[i] 适用于在 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i].理想情况下,权重的选择应使得产品 w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差.使用逆方差加权时,使用 w[i] = 1/sigma(y[i]).默认值是 None.

返回:
coefndarray, 形状 (M,) 或 (M, K)

从低到高排序的埃尔米特系数.如果 y 是二维的,则 yk 数据的系数在列 k 中.

[残差, 秩, 奇异值, rcond]列表

只有在 full == True 时,这些值才会被返回.

  • 残差 – 最小二乘拟合的残差平方和

  • rank – 缩放范德蒙矩阵的数值秩

  • singular_values – 缩放的 Vandermonde 矩阵的奇异值

  • rcond – rcond 的值.

更多详情,请参见 numpy.linalg.lstsq.

警告:
RankWarning

在最小二乘拟合中,系数矩阵的秩不足.仅当 full = False 时才会引发警告.可以通过以下方式关闭警告:

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

备注

解决方案是 HermiteE 系列 p 的系数,这些系数使加权平方误差的总和最小化.

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是权重.这个问题通过建立(通常)超定的矩阵方程来解决

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 Vx 的伪范德蒙矩阵,`c` 的元素是要解的系数,`y` 的元素是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来解这个方程.

如果 V 的一些奇异值非常小以至于被忽略,那么会发出一个 RankWarning.这意味着系数值可能确定得很差.使用较低阶的拟合通常可以消除警告.`rcond` 参数也可以设置为比默认值更小的值,但由此产生的拟合可能是虚假的,并且由于舍入误差而有较大的贡献.

使用 HermiteE 系列拟合在数据可以近似为 sqrt(w(x)) * p(x) 时可能最有用,其中 w(x) 是 HermiteE 权重.在这种情况下,应使用权重 sqrt(w(x[i])) 与数据值 y[i]/sqrt(w(x[i])) 一起使用.权重函数可用作 hermeweight.

参考文献

[1]

Wikipedia, “曲线拟合”, https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.polynomial.hermite_e import hermefit, hermeval
>>> x = np.linspace(-10, 10)
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> err = rng.normal(scale=1./10, size=len(x))
>>> y = hermeval(x, [1, 2, 3]) + err
>>> hermefit(x, y, 2)
array([1.02284196, 2.00032805, 2.99978457]) # may vary