numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
多项式对数据的拟合.
返回一个次数为 deg 的多项式的系数,该多项式是通过最小二乘法拟合给定点 x 处的数据值 y 得到的.如果 y 是 1 维的,返回的系数也将是 1 维的.如果 y 是 2 维的,则进行多次拟合,每次拟合 y 的每一列,结果系数存储在 2 维返回值的相应列中.拟合的多项式形式为
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 是 deg.
- 参数:
- x : array_like, 形状 (M,)array_like, 形状 (
M 样本（数据）点
(x[i], y[i])的 x 坐标.- y : array_like, 形状 (M,) 或 (M, K)array_like, 形状 (
样本点的 y 坐标.可以通过在一次调用
polyfit时传递一个包含每列一个数据集的二维数组给 y,来对共享相同 x 坐标的几个样本点集（独立地）进行拟合.- deg整数或1-D数组类
拟合多项式的度数.如果 deg 是一个单一整数,则包括直到并包括第 deg 项的所有项.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包括的项的度数的整数列表.
- rcondfloat, 可选
拟合的相对条件数.小于 rcond 的奇异值,相对于最大奇异值,将被忽略.默认值是
len(x)*eps,其中 eps 是平台浮点类型的相对精度,大多数情况下约为 2e-16.- fullbool, 可选
确定返回值性质的开关.当
False（默认）时,只返回系数;当True时,来自奇异值分解（用于解决拟合矩阵方程）的诊断信息也会返回.- w : array_like, 形状 (M,), 可选array_like, 形状 (
权重.如果不是 None,权重
w[i]适用于在x[i]处的未平方残差y[i] - y_hat[i].理想情况下,权重的选择应使得产品w[i]*y[i]的误差都具有相同的方差.使用逆方差加权时,使用w[i] = 1/sigma(y[i]).默认值是 None.在 1.5.0 版本加入.
- 返回:
- coef : ndarray, 形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)ndarray, 形状 (
多项式系数从低到高排序.如果 y 是二维的,`coef` 列 k 中的系数表示对 y 的第 k 列数据进行多项式拟合.
- [残差, 秩, 奇异值, rcond]列表
只有在
full == True时,这些值才会被返回.残差 – 最小二乘拟合的残差平方和
rank – 缩放范德蒙矩阵的数值秩
singular_values – 缩放范德蒙矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值.
更多详情,请参见
numpy.linalg.lstsq.
- 引发:
- RankWarning
如果在最小二乘拟合中的矩阵是秩亏的,则会引发此警告.仅当
full == False时才会引发警告.可以通过以下方式关闭警告:>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
参见
备注
解决方案是多项式 p 的系数,这些系数使加权平方误差的总和最小化.
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重.这个问题通过建立（通常）超定的矩阵方程来解决:
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵,`c` 是要解的系数,`w` 是权重,`y` 是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来解这个方程.
如果 V 的某些奇异值非常小以至于被忽略（并且 full ==
False）,将会引发 RankWarning.这意味着系数值可能确定得很差.拟合到较低阶的多项式通常会消除警告（但这可能不是你想要的,当然;如果你有独立的原因选择这个不起作用的阶数,你可能需要:a) 重新考虑这些原因,和/或 b) 重新考虑你的数据质量）.`rcond` 参数也可以设置为比其默认值更小的值,但由此产生的拟合可能是虚假的,并且由于舍入误差而有较大的贡献.使用双精度进行多项式拟合往往在大约（多项式）20度时”失败”.使用切比雪夫或勒让德级数的拟合通常条件更好,但很大程度上仍然取决于样本点的分布和数据的平滑性.如果拟合质量不足,样条可能是很好的替代方案.
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
同样的事情,没有添加的噪音
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]