numpy.polynomial.hermite.hermfit#

polynomial.hermite.hermfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#

Hermite 系列对数据的 最小二乘拟合.

返回一个次数为 deg 的 Hermite 级数的系数,该级数是根据在点 x 处给定的数据值 y 进行最小二乘拟合的.如果 y 是 1 维的,返回的系数也将是 1 维的.如果 y 是 2 维的,则进行多次拟合,每次拟合 y 的每一列,结果系数存储在 2 维返回值的相应列中.拟合的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * H_1(x) + ... + c_n * H_n(x),\]

其中 n 是 deg.

参数:
xarray_like, 形状 (M,)

M 个样本点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标.

yarray_like, 形状 (M,) 或 (M, K)

样本点的 y 坐标.通过传入一个包含每列一个数据集的二维数组,可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的样本点数据集.

deg整数或1-D 类数组

拟合多项式的度数.如果 deg 是一个整数,则包括所有直到并包括第 deg 项的项.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包括的项的度数的整数列表.

rcondfloat, 可选

拟合的相对条件数.相对于最大奇异值,奇异值小于此值的将被忽略.默认值是 len(x)*eps,其中 eps 是浮点类型的相对精度,大多数情况下约为 2e-16.

full布尔值, 可选

确定返回值性质的开关.当它为 False（默认）时,仅返回系数,当为 True 时,还会返回来自奇异值分解的诊断信息.

w : array_like, 形状 (M,), 可选array_like, 形状 (

权重.如果不是 None,权重 w[i] 应用于未平方的残差 y[i] - y_hat[i] 在 x[i] 处.理想情况下,权重的选择应使得产品 w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差.使用逆方差加权时,使用 w[i] = 1/sigma(y[i]).默认值是 None.

返回:
coefndarray, 形状 (M,) 或 (M, K)

从低到高排序的埃尔米特系数.如果 y 是二维的,则 y 列 k 中的数据的系数在列 k 中.

[残差, 秩, 奇异值, rcond]列表

只有在 full == True 时,这些值才会被返回.

  • 残差 – 最小二乘拟合的残差平方和

  • rank – 缩放范德蒙矩阵的数值秩

  • singular_values – 缩放范德蒙矩阵的奇异值

  • rcond – rcond 的值.

更多详情,请参见 numpy.linalg.lstsq.

警告:
RankWarning

在最小二乘拟合中,系数矩阵的秩不足.只有在 full == False 时才会引发警告.可以通过以下方式关闭警告:

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

参见

numpy.polynomial.chebyshev.chebfit
numpy.polynomial.legendre.legfit
numpy.polynomial.laguerre.lagfit
numpy.polynomial.polynomial.polyfit
numpy.polynomial.hermite_e.hermefit
hermval

评估一个 Hermite 级数.

hermvander

Hermite 级数的 Vandermonde 矩阵.

hermweight

Hermite 权重函数

numpy.linalg.lstsq

从矩阵中计算最小二乘拟合.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合.

备注

解决方案是使加权平方误差之和最小化的 Hermite 级数 p 的系数.

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是权重.这个问题通过建立（通常）超定的矩阵方程来解决

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵,`c` 是要解的系数,`w` 是权重,`y` 是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来解这个方程.

如果 V 的一些奇异值非常小以至于被忽略,那么会发出一个 RankWarning.这意味着系数值可能确定得很差.使用较低阶的拟合通常可以消除警告.`rcond` 参数也可以设置为比默认值更小的值,但由此产生的拟合可能是虚假的,并且由于舍入误差而有较大的贡献.

使用 Hermite 系列进行拟合可能最有用的情况是当数据可以近似为 sqrt(w(x)) * p(x),其中 w(x) 是 Hermite 权重.在这种情况下,应使用权重 sqrt(w(x[i])) 与数据值 y[i]/sqrt(w(x[i])) 一起使用.权重函数可作为 hermweight 使用.

参考文献

[1]

Wikipedia, “曲线拟合”, https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy.polynomial.hermite import hermfit, hermval
>>> x = np.linspace(-10, 10)
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> err = rng.normal(scale=1./10, size=len(x))
>>> y = hermval(x, [1, 2, 3]) + err
>>> hermfit(x, y, 2)
array([1.02294967, 2.00016403, 2.99994614]) # may vary
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