最大树

max-tree 是图像的一种层次表示，是大量形态学滤波器的基础。

如果我们对图像应用阈值操作，我们将得到一个包含一个或多个连通分量的二值图像。如果我们应用一个较低的阈值，所有从较高阈值得到的连通分量都包含在从较低阈值得到的连通分量中。这自然定义了一个嵌套分量的层次结构，可以用树来表示。每当通过阈值 t1 得到的连通分量 A 包含在通过阈值 t1 < t2 得到的分量 B 中时，我们称 B 是 A 的父分量。由此产生的树结构称为分量树。max-tree 是这种分量树的紧凑表示。[1], [2], [3], [4]。

在这个例子中，我们给出了什么是最大树的直观概念。

参考文献

[1]

Salembier, P., Oliveras, A., & Garrido, L. (1998). 反扩展连通算子用于图像和序列处理。IEEE图像处理汇刊, 7(4), 555-570. DOI:10.1109/83.663500

[2]

Berger, C., Geraud, T., Levillain, R., Widynski, N., Baillard, A., Bertin, E. (2007). 有效的组件树计算及其在天文图像模式识别中的应用。在国际图像处理会议 (ICIP) 上 (第41-44页). DOI:10.1109/ICIP.2007.4379949

[3]

Najman, L., & Couprie, M. (2006). 构建准线性时间内的组件树。IEEE图像处理汇刊, 15(11), 3531-3539. DOI:10.1109/TIP.2006.877518

[4]

Carlinet, E., & Geraud, T. (2014). 组件树计算算法比较综述. IEEE图像处理汇刊, 23(9), 3885-3895. DOI:10.1109/TIP.2014.2336551

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.lines import Line2D
from skimage.morphology import max_tree
import networkx as nx

在我们开始之前：一些辅助函数

def plot_img(ax, image, title, plot_text, image_values):
    """Plot an image, overlaying image values or indices."""
    ax.imshow(image, cmap='gray', aspect='equal', vmin=0, vmax=np.max(image))
    ax.set_title(title)
    ax.set_yticks([])
    ax.set_xticks([])

    for x in np.arange(-0.5, image.shape[0], 1.0):
        ax.add_artist(
            Line2D((x, x), (-0.5, image.shape[0] - 0.5), color='blue', linewidth=2)
        )

    for y in np.arange(-0.5, image.shape[1], 1.0):
        ax.add_artist(Line2D((-0.5, image.shape[1]), (y, y), color='blue', linewidth=2))

    if plot_text:
        for i, j in np.ndindex(*image_values.shape):
            ax.text(
                j,
                i,
                image_values[i, j],
                fontsize=8,
                horizontalalignment='center',
                verticalalignment='center',
                color='red',
            )
    return


def prune(G, node, res):
    """Transform a canonical max tree to a max tree."""
    value = G.nodes[node]['value']
    res[node] = str(node)
    preds = [p for p in G.predecessors(node)]
    for p in preds:
        if G.nodes[p]['value'] == value:
            res[node] += f", {p}"
            G.remove_node(p)
        else:
            prune(G, p, res)
    G.nodes[node]['label'] = res[node]
    return


def accumulate(G, node, res):
    """Transform a max tree to a component tree."""
    total = G.nodes[node]['label']
    parents = G.predecessors(node)
    for p in parents:
        total += ', ' + accumulate(G, p, res)
    res[node] = total
    return total


def position_nodes_for_max_tree(G, image_rav, root_x=4, delta_x=1.2):
    """Set the position of nodes of a max-tree.

    This function helps to visually distinguish between nodes at the same
    level of the hierarchy and nodes at different levels.
    """
    pos = {}
    for node in reversed(list(nx.topological_sort(canonical_max_tree))):
        value = G.nodes[node]['value']
        if canonical_max_tree.out_degree(node) == 0:
            # root
            pos[node] = (root_x, value)

        in_nodes = [y for y in canonical_max_tree.predecessors(node)]

        # place the nodes at the same level
        level_nodes = [y for y in filter(lambda x: image_rav[x] == value, in_nodes)]
        nb_level_nodes = len(level_nodes) + 1

        c = nb_level_nodes // 2
        i = -c
        if len(level_nodes) < 3:
            hy = 0
            m = 0
        else:
            hy = 0.25
            m = hy / (c - 1)

        for level_node in level_nodes:
            if i == 0:
                i += 1
            if len(level_nodes) < 3:
                pos[level_node] = (pos[node][0] + i * 0.6 * delta_x, value)
            else:
                pos[level_node] = (
                    pos[node][0] + i * 0.6 * delta_x,
                    value + m * (2 * np.abs(i) - c - 1),
                )
            i += 1

        # place the nodes at different levels
        other_level_nodes = [
            y for y in filter(lambda x: image_rav[x] > value, in_nodes)
        ]
        if len(other_level_nodes) == 1:
            i = 0
        else:
            i = -len(other_level_nodes) // 2
        for other_level_node in other_level_nodes:
            if (len(other_level_nodes) % 2 == 0) and (i == 0):
                i += 1
            pos[other_level_node] = (
                pos[node][0] + i * delta_x,
                image_rav[other_level_node],
            )
            i += 1

    return pos


def plot_tree(graph, positions, ax, *, title='', labels=None, font_size=8, text_size=8):
    """Plot max and component trees."""
    nx.draw_networkx(
        graph,
        pos=positions,
        ax=ax,
        node_size=40,
        node_shape='s',
        node_color='white',
        font_size=font_size,
        labels=labels,
    )
    for v in range(image_rav.min(), image_rav.max() + 1):
        ax.hlines(v - 0.5, -3, 10, linestyles='dotted')
        ax.text(-3, v - 0.15, f"val: {v}", fontsize=text_size)
    ax.hlines(v + 0.5, -3, 10, linestyles='dotted')
    ax.set_xlim(-3, 10)
    ax.set_title(title)
    ax.set_axis_off()

图像定义

我们定义了一个小的测试图像。为了清晰起见，我们选择了一个示例图像，其中图像值不会与索引混淆（不同的范围）。

image = np.array(
    [
        [40, 40, 39, 39, 38],
        [40, 41, 39, 39, 39],
        [30, 30, 30, 32, 32],
        [33, 33, 30, 32, 35],
        [30, 30, 30, 33, 36],
    ],
    dtype=np.uint8,
)

最大树

接下来，我们计算这张图像的最大树。图像的最大树

P, S = max_tree(image)

P_rav = P.ravel()

图像绘图

然后，我们可视化图像及其展开的索引。具体来说，我们绘制图像并添加以下叠加层：- 图像值 - 展开的索引（作为像素标识符） - max_tree 函数的输出

# raveled image
image_rav = image.ravel()

# raveled indices of the example image (for display purpose)
raveled_indices = np.arange(image.size).reshape(image.shape)

fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, sharey=True, figsize=(9, 3))

plot_img(ax1, image - image.min(), 'Image Values', plot_text=True, image_values=image)
plot_img(
    ax2,
    image - image.min(),
    'Raveled Indices',
    plot_text=True,
    image_values=raveled_indices,
)
plot_img(ax3, image - image.min(), 'Max-tree indices', plot_text=True, image_values=P)

可视化阈值操作

现在，我们研究一系列阈值操作的结果。组件树（和最大树）提供了不同层次上连通组件之间包含关系的表示。

fig, axes = plt.subplots(3, 3, sharey=True, sharex=True, figsize=(6, 6))
thresholds = np.unique(image)
for k, threshold in enumerate(thresholds):
    bin_img = image >= threshold
    plot_img(
        axes[(k // 3), (k % 3)],
        bin_img,
        f"Threshold : {threshold}",
        plot_text=True,
        image_values=raveled_indices,
    )

最大树图

现在，我们绘制组件树和最大树。组件树将所有可能的阈值操作产生的不同像素集相互关联起来。如果在某一级别的组件包含在更低级别的组件中，图中会有一个箭头。最大树只是像素集的另一种编码方式。

1. 组件树：像素集被明确写出。例如，我们看到 {6}（应用阈值为41的结果）是 {0, 1, 5, 6}（阈值为40）的父节点。

2. 最大树：只有在这一层级进入集合的像素才会被明确写出。因此，我们将写 {6} -> {0,1,5} 而不是 {6} -> {0, 1, 5, 6}

3. 规范的最大树：这是由我们的实现给出的表示。在这里，每个像素都是一个节点。几个像素的连通分量由其中一个像素表示。因此，我们将 {6} -> {0,1,5} 替换为 {6} -> {5}, {1} -> {5}, {0} -> {5}。这使我们能够通过图像来表示图（顶行，第三列）。

# the canonical max-tree graph
canonical_max_tree = nx.DiGraph()
canonical_max_tree.add_nodes_from(S)
for node in canonical_max_tree.nodes():
    canonical_max_tree.nodes[node]['value'] = image_rav[node]
canonical_max_tree.add_edges_from([(n, P_rav[n]) for n in S[1:]])

# max-tree from the canonical max-tree
nx_max_tree = nx.DiGraph(canonical_max_tree)
labels = {}
prune(nx_max_tree, S[0], labels)

# component tree from the max-tree
labels_ct = {}
total = accumulate(nx_max_tree, S[0], labels_ct)

# positions of nodes : canonical max-tree (CMT)
pos_cmt = position_nodes_for_max_tree(canonical_max_tree, image_rav)

# positions of nodes : max-tree (MT)
pos_mt = dict(zip(nx_max_tree.nodes, [pos_cmt[node] for node in nx_max_tree.nodes]))

# plot the trees with networkx and matplotlib
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, sharey=True, figsize=(20, 8))

plot_tree(
    nx_max_tree,
    pos_mt,
    ax1,
    title='Component tree',
    labels=labels_ct,
    font_size=6,
    text_size=8,
)

plot_tree(nx_max_tree, pos_mt, ax2, title='Max tree', labels=labels)

plot_tree(canonical_max_tree, pos_cmt, ax3, title='Canonical max tree')

fig.tight_layout()

plt.show()