标量和矢量场功能

介绍

向量和标量

在物理学中，我们处理两种类型的量——标量和矢量。

标量是一个只有大小而没有方向的实体。标量的例子包括质量、电荷、温度、距离等。

另一方面，向量是一个由大小和方向表征的实体。向量的例子包括位移、速度、磁场等。

标量可以通过一个数字来表示，例如温度300 K。另一方面，像加速度这样的矢量量通常用矢量表示。给定一个矢量 \(\mathbf{V}\)，相应量的大小可以计算为矢量本身的大小 \(\Vert \mathbf{V} \Vert\)，而方向将由原始矢量方向上的单位矢量指定， \(\mathbf{\hat{V}} = \frac{\mathbf{V}}{\Vert \mathbf{V} \Vert}\)。

例如，考虑一个位移为 \((3\mathbf{\hat{i}} + 4\mathbf{\hat{j}} + 5\mathbf{\hat{k}})\) 米，其中，按照标准惯例，\(\mathbf{\hat{i}}\)、\(\mathbf{\hat{j}}\) 和 \(\mathbf{\hat{k}}\) 分别表示 \(\mathbf{X}\)、\(\mathbf{Y}\) 和 \(\mathbf{Z}\) 方向上的单位向量。因此，可以得出所行距离为 \(\Vert 3\mathbf{\hat{i}} + 4\mathbf{\hat{j}} + 5\mathbf{\hat{k}} \Vert\) 米 = \(5\sqrt{2}\) 米。行进方向由单位向量 \(\frac{3}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{i}} + \frac{4}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{j}} + \frac{5}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{k}}\) 给出。

字段

一般来说，一个 \(场\) 是一个可以在空间中任意位置指定的矢量或标量量，作为位置的函数（注意，一般来说，场也可能依赖于时间和其它自定义变量）。在这个模块中，我们只处理三维空间。因此，场被定义为 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 坐标的函数，对应于三维空间中的一个位置。

例如，三维空间中的温度（温度场）可以写成 \(T(x, y, z)\) – 位置的标量函数。电磁学中标量场的一个例子是电势。

同样地，一个矢量场可以定义为空间中任意一点位置 \((x, y, z)\) 的矢量函数。

例如，地球上的每一点都可以被认为是处于地球的重力场中。我们可以通过重力引起的加速度（即单位质量的力）的大小和方向来指定场 \(g(x, y, z)\) 在空间中的每一点。

以电磁学为例，考虑一个形式为 \(2{x}^{2}y\) 的电势，这是一个三维空间中的标量场。相应的保守电场可以通过电势函数的梯度计算得出，并表示为 \(4xy\mathbf{\hat{i}} + 2{x}^{2}\mathbf{\hat{j}}\)。该电场的大小可以反过来表示为一个形式为 \(\sqrt{4{x}^{4} + 16{x}^{2}{y}^{2}}\) 的标量场。

sympy.physics.vector 中字段的实现

In sympy.physics.vector, every ReferenceFrame instance is assigned basis vectors corresponding to the \(X\), \(Y\) and \(Z\) directions. These can be accessed using the attributes named x, y and z respectively. Hence, to define a vector \(\mathbf{v}\) of the form \(3\mathbf{\hat{i}} + 4\mathbf{\hat{j}} + 5\mathbf{\hat{k}}\) with respect to a given frame \(\mathbf{R}\), you would do

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> v = 3*R.x + 4*R.y + 5*R.z

关于向量的数学和基本微积分运算，在本模块文档的其他部分已经详细阐述。

On the other hand, base scalars (or coordinate variables) are implemented as special SymPy Symbols assigned to every frame, one for each direction from \(X\), \(Y\) and \(Z\). For a frame R, the \(X\), \(Y\) and \(Z\) base scalar Symbols can be accessed using the R[0], R[1] and R[2] expressions respectively.

因此，要生成上述电势场 \(2{x}^{2}y\) 的表达式，您必须执行

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> electric_potential = 2*R[0]**2*R[1]
>>> electric_potential
2*R_x**2*R_y

In string representation, R_x denotes the \(X\) base scalar assigned to ReferenceFrame R. Essentially, R_x is the string representation of R[0].

Scalar fields can be treated just as any other SymPy expression, for any math/calculus functionality. Hence, to differentiate the above electric potential with respect to \(x\) (i.e. R[0]), you would have to use the diff function.

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> electric_potential = 2*R[0]**2*R[1]
>>> from sympy import diff
>>> diff(electric_potential, R[0])
4*R_x*R_y

Like vectors (and vector fields), scalar fields can also be re-expressed in other frames of reference, apart from the one they were defined in – assuming that an orientation relationship exists between the concerned frames. This can be done using the sympy.physics.vector.vector.Vector.express method, in a way similar to vectors - but with the variables parameter set to True.

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> electric_potential = 2*R[0]**2*R[1]
>>> from sympy.physics.vector import dynamicsymbols, express
>>> q = dynamicsymbols('q')
>>> R1 = R.orientnew('R1', rot_type = 'Axis', amounts = [q, R.z])
>>> express(electric_potential, R1, variables=True)
2*(R1_x*sin(q(t)) + R1_y*cos(q(t)))*(R1_x*cos(q(t)) - R1_y*sin(q(t)))**2

Moreover, considering scalars can also be functions of time just as vectors, differentiation with respect to time is also possible. Depending on the Symbols present in the expression and the frame with respect to which the time differentiation is being done, the output will change/remain the same.

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> electric_potential = 2*R[0]**2*R[1]
>>> q = dynamicsymbols('q')
>>> R1 = R.orientnew('R1', rot_type = 'Axis', amounts = [q, R.z])
>>> from sympy.physics.vector import time_derivative
>>> time_derivative(electric_potential, R)
0
>>> time_derivative(electric_potential, R1).simplify()
2*(R1_x*cos(q(t)) - R1_y*sin(q(t)))*(3*R1_x**2*cos(2*q(t))/2 -
R1_x**2/2 - 3*R1_x*R1_y*sin(2*q(t)) - 3*R1_y**2*cos(2*q(t))/2 -
R1_y**2/2)*Derivative(q(t), t)

字段操作符及其他相关函数

这里我们描述了在 sympy.physics.vector 中实现的一些基本字段相关功能。

Curl

旋度是一个描述三维空间中向量无穷小旋转的数学算子。方向由右手定则（沿旋转轴）确定，大小由旋转的大小给出。

在三维笛卡尔坐标系中，三维向量 \(\mathbf{F}\) 的旋度，记作 \(\nabla \times \mathbf{F}\) ，由以下公式给出 -

\(\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{\hat{i}} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{\hat{j}} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{\hat{k}}\)

其中 \(F_x\) 表示向量 \(\mathbf{F}\) 的 \(X\) 分量。

要在 sympy.physics.vector 中计算向量场的旋度，您可以这样做

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> from sympy.physics.vector import curl
>>> field = R[0]*R[1]*R[2]*R.x
>>> curl(field, R)
R_x*R_y*R.y - R_x*R_z*R.z

分歧

散度是一个向量算子，用于测量给定点上向量场的源或汇的大小，以带符号的标量表示。

散度算子在作用于向量后总是返回一个标量。

在三维笛卡尔坐标系中，三维向量 \(\mathbf{F}\) 的散度，记作 \(\nabla\cdot\mathbf{F}\)，由以下公式给出 -

\(\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial U}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial y} +\frac{\partial W}{\partial z }\)

其中 \(U\), \(V\) 和 \(W\) 分别表示 \(\mathbf{F}\) 的 \(X\), \(Y\) 和 \(Z\) 分量。

要在 sympy.physics.vector 中计算向量场的散度，您可以这样做

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> from sympy.physics.vector import divergence
>>> field = R[0]*R[1]*R[2] * (R.x+R.y+R.z)
>>> divergence(field, R)
R_x*R_y + R_x*R_z + R_y*R_z

梯度

考虑一个三维空间中的标量场 \(f(x, y, z)\) 。该场的梯度定义为在 \(X\) 、 \(Y\) 和 \(Z\) 方向上分别对 \(f\) 关于 \(x\) 、 \(y\) 和 \(z\) 的三个偏导数的向量。

在三维笛卡尔坐标系中，标量场 \(f\) 的梯度，记作 \(\nabla f\)，由以下公式给出 -

\(\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{\hat{i}} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{\hat{j}} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{\hat{k}}\)

要在 sympy.physics.vector 中计算标量场的梯度，你可以这样做

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> from sympy.physics.vector import gradient
>>> scalar_field = R[0]*R[1]*R[2]
>>> gradient(scalar_field, R)
R_y*R_z*R.x + R_x*R_z*R.y + R_x*R_y*R.z

保守场和无散场

在向量微积分中，保守场是一个标量场的梯度。保守场具有这样的性质：其沿任何路径的线积分仅取决于端点，并且与它们之间的路径无关。保守向量场也被称为‘无旋’，因为保守场的旋度总是零。

在物理学中，保守场表示物理系统中的力，其中能量是守恒的。

To check if a vector field is conservative in sympy.physics.vector, use the sympy.physics.vector.fieldfunctions.is_conservative function.

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, is_conservative
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> field = R[1]*R[2]*R.x + R[0]*R[2]*R.y + R[0]*R[1]*R.z
>>> is_conservative(field)
True
>>> curl(field, R)
0

另一方面，螺线管场是一个矢量场，其在空间中所有点的散度为零。

To check if a vector field is solenoidal in sympy.physics.vector, use the sympy.physics.vector.fieldfunctions.is_solenoidal function.

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, is_solenoidal
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> field = R[1]*R[2]*R.x + R[0]*R[2]*R.y + R[0]*R[1]*R.z
>>> is_solenoidal(field)
True
>>> divergence(field, R)
0

标量势函数

我们之前提到过，每个保守场都可以定义为某个标量场的梯度。这个标量场也称为与上述保守场对应的’标量势场’。

The sympy.physics.vector.fieldfunctions.scalar_potential function in sympy.physics.vector calculates the scalar potential field corresponding to a given conservative vector field in 3D space - minus the extra constant of integration, of course.

使用示例 -

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, scalar_potential
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> conservative_field = 4*R[0]*R[1]*R[2]*R.x + 2*R[0]**2*R[2]*R.y + 2*R[0]**2*R[1]*R.z
>>> scalar_potential(conservative_field, R)
2*R_x**2*R_y*R_z

Providing a non-conservative vector field as an argument to sympy.physics.vector.fieldfunctions.scalar_potential raises a ValueError.

标量势差，或简称为’势差’，对应于保守向量场的标量势函数在空间中两点之间的差值可以被定义。这在计算关于保守函数的线积分时非常有用，因为它仅依赖于路径的端点。

在 sympy.physics.vector 中，此计算执行如下。

>>> from sympy.physics.vector import ReferenceFrame, Point
>>> from sympy.physics.vector import scalar_potential_difference
>>> R = ReferenceFrame('R')
>>> O = Point('O')
>>> P = O.locatenew('P', 1*R.x + 2*R.y + 3*R.z)
>>> vectfield = 4*R[0]*R[1]*R.x + 2*R[0]**2*R.y
>>> scalar_potential_difference(vectfield, R, O, P, O)
4

If provided with a scalar expression instead of a vector field, sympy.physics.vector.fieldfunctions.scalar_potential_difference returns the difference between the values of that scalar field at the two given points in space.