关于完整函数的操作¶

加法和乘法¶

两个全纯函数可以相加或相乘，结果仍然是一个全纯函数。

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy.polys.domains import QQ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')

p 和 q 在这里分别是 \(e^x\) 和 \(\sin(x)\) 的完整表示。

>>> p = HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1])
>>> q = HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x, 0, [0, 1])

\(e^x+\sin(x)\) 的完整表示

>>> p + q
HolonomicFunction((-1) + (1)*Dx + (-1)*Dx**2 + (1)*Dx**3, x, 0, [1, 2, 1])

\(e^x \cdot \sin(x)\) 的完整表示

>>> p * q
HolonomicFunction((2) + (-2)*Dx + (1)*Dx**2, x, 0, [0, 1])

积分与微分¶

HolonomicFunction.integrate( limits, initcond=False, )[源代码][源代码]¶

积分给定的全纯函数。

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import QQ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).integrate((x, 0, x))  # e^x - 1
HolonomicFunction((-1)*Dx + (1)*Dx**2, x, 0, [0, 1])
>>> HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x, 0, [1, 0]).integrate((x, 0, x))
HolonomicFunction((1)*Dx + (1)*Dx**3, x, 0, [0, 1, 0])

HolonomicFunction.diff(*args, **kwargs)[源代码][源代码]¶

给定Holonomic函数的微分。

参见

integrate

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import ZZ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(ZZ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x, 0, [0, 1]).diff().to_expr()
cos(x)
>>> HolonomicFunction(Dx - 2, x, 0, [1]).diff().to_expr()
2*exp(2*x)

多项式组合¶

HolonomicFunction.composition(

expr,

*args,

**kwargs,

)[源代码][源代码]¶

返回一个全纯函数与一个代数函数复合后的函数。该方法无法自行计算结果的初始条件，因此也可以提供这些条件。

参见

from_hyper

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import QQ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x).composition(x**2, 0, [1])  # e^(x**2)
HolonomicFunction((-2*x) + (1)*Dx, x, 0, [1])
>>> HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x).composition(x**2 - 1, 1, [1, 0])
HolonomicFunction((4*x**3) + (-1)*Dx + (x)*Dx**2, x, 1, [1, 0])

转换为全向序列¶

HolonomicFunction.to_sequence(lb=True)[源代码][源代码]¶

找到函数在 \(x_0\) 处展开的级数中系数的递推关系，其中 \(x_0\) 是存储初始条件的点。

参见

HolonomicFunction.series

参考文献

[1]

https://hal.inria.fr/inria-00070025/document

[2]

https://www3.risc.jku.at/publications/download/risc_2244/DIPLFORM.pdf

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import QQ
>>> from sympy import symbols, S
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).to_sequence()
[(HolonomicSequence((-1) + (n + 1)Sn, n), u(0) = 1, 0)]
>>> HolonomicFunction((1 + x)*Dx**2 + Dx, x, 0, [0, 1]).to_sequence()
[(HolonomicSequence((n**2) + (n**2 + n)Sn, n), u(0) = 0, u(1) = 1, u(2) = -1/2, 2)]
>>> HolonomicFunction(-S(1)/2 + x*Dx, x, 0, {S(1)/2: [1]}).to_sequence()
[(HolonomicSequence((n), n), u(0) = 1, 1/2, 1)]

级数展开¶

HolonomicFunction.series( n=6, coefficient=False, order=True, _recur=None, )[源代码][源代码]¶

找到给定holonomic函数在 \(x_0\) 处的幂级数展开。

参见

HolonomicFunction.to_sequence

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import QQ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).series()  # e^x
1 + x + x**2/2 + x**3/6 + x**4/24 + x**5/120 + O(x**6)
>>> HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x, 0, [0, 1]).series(n=8)  # sin(x)
x - x**3/6 + x**5/120 - x**7/5040 + O(x**8)

数值评估¶

HolonomicFunction.evalf( points, method='RK4', h=0.05, derivatives=False, )[源代码][源代码]¶

使用数值方法找到一个完整函数的数值（默认使用RK4方法）。必须提供一组点（实数或复数），这些点将作为数值积分的路径。

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import QQ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(QQ.old_poly_ring(x),'Dx')

实轴上从 (0 到 1) 的一条直线

>>> r = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1]

从0.1到1的e^x上的Runge-Kutta四阶方法。在1处的精确解是2.71828182845905。

>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).evalf(r)
[1.10517083333333, 1.22140257085069, 1.34985849706254, 1.49182424008069,
1.64872063859684, 1.82211796209193, 2.01375162659678, 2.22553956329232,
2.45960141378007, 2.71827974413517]

欧拉方法用于相同的情况

>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).evalf(r, method='Euler')
[1.1, 1.21, 1.331, 1.4641, 1.61051, 1.771561, 1.9487171, 2.14358881,
2.357947691, 2.5937424601]

还可以观察到，使用四阶龙格-库塔法得到的值比欧拉法要精确得多。

转换为超几何函数的线性组合¶

HolonomicFunction.to_hyper( as_list=False, _recur=None, )[源代码][源代码]¶

返回一个超几何函数（或它们的线性组合），表示给定的正合函数。

参见

from_hyper, from_meijerg

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import ZZ
>>> from sympy import symbols
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(ZZ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> # sin(x)
>>> HolonomicFunction(Dx**2 + 1, x, 0, [0, 1]).to_hyper()
x*hyper((), (3/2,), -x**2/4)
>>> # exp(x)
>>> HolonomicFunction(Dx - 1, x, 0, [1]).to_hyper()
hyper((), (), x)

转换为 Meijer G-函数的线性组合¶

HolonomicFunction.to_meijerg()[源代码][源代码]¶

返回一个 Meijer G-函数的线性组合。

参见

to_hyper

示例

>>> from sympy.holonomic import expr_to_holonomic
>>> from sympy import sin, cos, hyperexpand, log, symbols
>>> x = symbols('x')
>>> hyperexpand(expr_to_holonomic(cos(x) + sin(x)).to_meijerg())
sin(x) + cos(x)
>>> hyperexpand(expr_to_holonomic(log(x)).to_meijerg()).simplify()
log(x)

转换为表达式¶

HolonomicFunction.to_expr()[源代码][源代码]¶

将一个全纯函数转换回初等函数。

示例

>>> from sympy.holonomic.holonomic import HolonomicFunction, DifferentialOperators
>>> from sympy import ZZ
>>> from sympy import symbols, S
>>> x = symbols('x')
>>> R, Dx = DifferentialOperators(ZZ.old_poly_ring(x),'Dx')
>>> HolonomicFunction(x**2*Dx**2 + x*Dx + (x**2 - 1), x, 0, [0, S(1)/2]).to_expr()
besselj(1, x)
>>> HolonomicFunction((1 + x)*Dx**3 + Dx**2, x, 0, [1, 1, 1]).to_expr()
x*log(x + 1) + log(x + 1) + 1