微积分¶
本节介绍如何在 SymPy 中进行微积分基础任务，如求导、积分、极限和级数展开。如果你对本节中的任何数学部分不熟悉，可以安全地跳过它。
>>> from sympy import *
>>> x, y, z = symbols('x y z')
>>> init_printing(use_unicode=True)
导数¶
要计算导数，请使用 diff 函数。
>>> diff(cos(x), x)
-sin(x)
>>> diff(exp(x**2), x)
⎛ 2⎞
⎝x ⎠
2⋅x⋅ℯ
diff 可以一次取多个导数。要取多个导数，可以多次传递变量，或者在变量后传递一个数字。例如，以下两种方法都求 \(x^4\) 的第三次导数。
>>> diff(x**4, x, x, x)
24⋅x
>>> diff(x**4, x, 3)
24⋅x
你也可以同时对多个变量求导。只需按顺序传递每个导数，使用与单变量导数相同的语法。例如，以下每一项都将计算 \(\frac{\partial^7}{\partial x\partial y^2\partial z^4} e^{x y z}\)。
>>> expr = exp(x*y*z)
>>> diff(expr, x, y, y, z, z, z, z)
3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
>>> diff(expr, x, y, 2, z, 4)
3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
>>> diff(expr, x, y, y, z, 4)
3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
diff 也可以作为方法调用。调用 diff 的两种方式完全相同，仅提供方便。
>>> expr.diff(x, y, y, z, 4)
3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
要创建一个未求值的导数，请使用 Derivative 类。它的语法与 diff 相同。
>>> deriv = Derivative(expr, x, y, y, z, 4)
>>> deriv
7
∂ ⎛ x⋅y⋅z⎞
──────────⎝ℯ ⎠
4 2
∂z ∂y ∂x
要计算未计算的导数，请使用 doit 方法。
>>> deriv.doit()
3 2 ⎛ 3 3 3 2 2 2 ⎞ x⋅y⋅z
x ⋅y ⋅⎝x ⋅y ⋅z + 14⋅x ⋅y ⋅z + 52⋅x⋅y⋅z + 48⎠⋅ℯ
这些未求值的对象对于延迟求导的计算或用于打印目的非常有用。当 SymPy 不知道如何计算表达式的导数时（例如，如果它包含一个未定义的函数，这些函数在 求解微分方程 部分中描述），也会使用它们。
可以使用元组 (x, n) 创建未指定阶数的导数，其中 n 是相对于 x 的导数阶数。
>>> m, n, a, b = symbols('m n a b')
>>> expr = (a*x + b)**m
>>> expr.diff((x, n))
n
∂ ⎛ m⎞
───⎝(a⋅x + b) ⎠
n
∂x
积分¶
要计算一个积分，使用 integrate 函数。积分有两种类型，定积分和不定积分。要计算不定积分，即反导数或原函数，只需在表达式后传递变量。
>>> integrate(cos(x), x)
sin(x)
请注意，SymPy 不包括积分常数。如果你想包含它，你可以自己添加一个，或者将你的问题重新表述为微分方程并使用 dsolve 来求解，这会添加常数（参见 教程-dsolve）。
要计算定积分，请传递参数 (积分变量, 下限, 上限)。例如，要计算
我们会做
>>> integrate(exp(-x), (x, 0, oo))
1
与不定积分类似，您可以传递多个限制元组来执行多重积分。例如，要计算
做
>>> integrate(exp(-x**2 - y**2), (x, -oo, oo), (y, -oo, oo))
π
如果 integrate 无法计算积分，它将返回一个未计算的 Integral 对象。
>>> expr = integrate(x**x, x)
>>> print(expr)
Integral(x**x, x)
>>> expr
⌠
⎮ x
⎮ x dx
⌡
与 Derivative 类似，你可以使用 Integral 创建一个未求值的积分。要稍后求解这个积分，调用 doit。
>>> expr = Integral(log(x)**2, x)
>>> expr
⌠
⎮ 2
⎮ log (x) dx
⌡
>>> expr.doit()
2
x⋅log (x) - 2⋅x⋅log(x) + 2⋅x
integrate 使用不断改进的强大算法来计算定积分和不定积分，包括启发式模式匹配算法、Risch算法 的部分实现，以及使用 Meijer G函数 的算法，该算法对于以特殊函数形式计算积分特别有用，尤其是定积分。以下是 integrate 的一些强大功能的示例。
>>> integ = Integral((x**4 + x**2*exp(x) - x**2 - 2*x*exp(x) - 2*x -
... exp(x))*exp(x)/((x - 1)**2*(x + 1)**2*(exp(x) + 1)), x)
>>> integ
⌠
⎮ ⎛ 4 2 x 2 x x⎞ x
⎮ ⎝x + x ⋅ℯ - x - 2⋅x⋅ℯ - 2⋅x - ℯ ⎠⋅ℯ
⎮ ──────────────────────────────────────── dx
⎮ 2 2 ⎛ x ⎞
⎮ (x - 1) ⋅(x + 1) ⋅⎝ℯ + 1⎠
⌡
>>> integ.doit()
x
⎛ x ⎞ ℯ
log⎝ℯ + 1⎠ + ──────
2
x - 1
>>> integ = Integral(sin(x**2), x)
>>> integ
⌠
⎮ ⎛ 2⎞
⎮ sin⎝x ⎠ dx
⌡
>>> integ.doit()
⎛√2⋅x⎞
3⋅√2⋅√π⋅S⎜────⎟⋅Γ(3/4)
⎝ √π ⎠
──────────────────────
8⋅Γ(7/4)
>>> integ = Integral(x**y*exp(-x), (x, 0, oo))
>>> integ
∞
⌠
⎮ y -x
⎮ x ⋅ℯ dx
⌡
0
>>> integ.doit()
⎧ Γ(y + 1) for re(y) > -1
⎪
⎪∞
⎪⌠
⎨⎮ y -x
⎪⎮ x ⋅ℯ dx otherwise
⎪⌡
⎪0
⎩
最后一个示例返回了一个 Piecewise 表达式，因为积分在 \(\Re(y) > -1\) 时才收敛。
数值积分¶
数值积分是一种在数学分析中使用的方法，用于估计函数在一个简化范围内的定积分。SymPy不仅支持符号积分，还提供数值积分的支持。它利用``mpmath``库的精度能力来提高数值积分计算的准确性。
>>> from sympy import Integral, Symbol, sqrt
>>> x = Symbol('x')
>>> integral = Integral(sqrt(2)*x, (x, 0, 1))
>>> integral
1
⌠
⎮ √2⋅x dx
⌡
0
>>> integral.evalf()
0.707106781186548
要计算具有指定精度的积分：
>>> integral.evalf(50)
0.70710678118654752440084436210484903928483593768847
在符号积分不切实际或不可能的情况下，数值积分成为一种可行的方法。这种方法允许通过数值技术计算积分，即使处理无限区间或被积函数：
>>> Integral(exp(-(x ** 2)), (x, -oo, oo)).evalf()
1.77245385090552
>>> Integral(1 / sqrt(x), (x, 0, 1)).evalf()
2.00000000000000
限制¶
SymPy 可以使用 limit 函数计算符号极限。计算的语法为
是 limit(f(x), x, x0)。
>>> limit(sin(x)/x, x, 0)
1
limit 应该在评估点为奇点时使用，而不是 subs。尽管 SymPy 有对象来表示 \(\infty\)，但由于它们不跟踪增长率等事项，因此使用它们进行评估并不可靠。此外，像 \(\infty - \infty\) 和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 这样的表达式会返回 `mathrm{nan}`（非数字）。例如
>>> expr = x**2/exp(x)
>>> expr.subs(x, oo)
nan
>>> limit(expr, x, oo)
0
像 Derivative 和 Integral 一样， limit 有一个未求值的对应项， Limit 。要对其求值，请使用 doit 。
>>> expr = Limit((cos(x) - 1)/x, x, 0)
>>> expr
⎛cos(x) - 1⎞
lim ⎜──────────⎟
x─→0⁺⎝ x ⎠
>>> expr.doit()
0
要仅评估某一侧的极限，请将 '+' 或 '-' 作为第四个参数传递给 limit。例如，要计算
做
>>> limit(1/x, x, 0, '+')
∞
与此相反
>>> limit(1/x, x, 0, '-')
-∞
级数展开¶
SymPy 可以计算函数在某点附近的渐近级数展开。要计算 \(f(x)\) 在 \(x = x_0\) 点附近的 \(x^n\) 阶项的展开，使用 f(x).series(x, x0, n)。x0 和 n 可以省略，在这种情况下，默认值 x0=0 和 n=6 将被使用。
>>> expr = exp(sin(x))
>>> expr.series(x, 0, 4)
2
x ⎛ 4⎞
1 + x + ── + O⎝x ⎠
2
末尾的 \(O\left(x^4\right)\) 项表示在 \(x=0\) 处的朗道阶项（不要与计算机科学中使用的大 O 符号混淆，后者通常表示在 \(x\) 处的朗道阶项，其中 \(x \rightarrow \infty\)）。这意味着所有幂次大于或等于 \(x^4\) 的 x 项都被省略。阶项可以在 series 之外创建和操作。它们会自动吸收更高阶的项。
>>> x + x**3 + x**6 + O(x**4)
3 ⎛ 4⎞
x + x + O⎝x ⎠
>>> x*O(1)
O(x)
如果你不想保留顺序项，请使用 removeO 方法。
>>> expr.series(x, 0, 4).removeO()
2
x
── + x + 1
2
O 表示法支持任意极限点（除了0）：
>>> exp(x - 6).series(x, x0=6)
2 3 4 5
(x - 6) (x - 6) (x - 6) (x - 6) ⎛ 6 ⎞
-5 + ──────── + ──────── + ──────── + ──────── + x + O⎝(x - 6) ; x → 6⎠
2 6 24 120
有限差分¶
到目前为止，我们已经分别研究了具有解析导数和原函数的表达式。但是，如果我们想要一个表达式来估计一个曲线的导数，而该曲线缺乏封闭形式的表示，或者我们还不知道其函数值，该怎么办呢？一种方法可能是使用有限差分法。
使用有限差分进行微分的最简单方法是使用 differentiate_finite 函数：
>>> f, g = symbols('f g', cls=Function)
>>> differentiate_finite(f(x)*g(x))
-f(x - 1/2)⋅g(x - 1/2) + f(x + 1/2)⋅g(x + 1/2)
如果你已经有一个 Derivative 实例，你可以使用 as_finite_difference 方法来生成任意阶导数的近似值：
>>> f = Function('f')
>>> dfdx = f(x).diff(x)
>>> dfdx.as_finite_difference()
-f(x - 1/2) + f(x + 1/2)
这里，一阶导数在 x 附近使用最少的点数（1 阶导数为 2 个点）进行近似，这些点等距分布，步长为 1。我们可以使用任意步长（可能包含符号表达式）：
>>> f = Function('f')
>>> d2fdx2 = f(x).diff(x, 2)
>>> h = Symbol('h')
>>> d2fdx2.as_finite_difference([-3*h,-h,2*h])
f(-3⋅h) f(-h) 2⋅f(2⋅h)
─────── - ───── + ────────
2 2 2
5⋅h 3⋅h 15⋅h
如果你只是对评估权重感兴趣，你可以手动进行：
>>> finite_diff_weights(2, [-3, -1, 2], 0)[-1][-1]
[1/5, -1/3, 2/15]
注意，我们只需要从 finite_diff_weights 返回的最后一个子列表中的最后一个元素。这样做的原因是，该函数还会为较低阶导数和使用较少点生成权重（有关更多详细信息，请参阅 finite_diff_weights 的文档）。
如果直接使用 finite_diff_weights 看起来很复杂，并且 Derivative 实例的 as_finite_difference 方法不够灵活，你可以使用 apply_finite_diff，它接受 order、x_list、y_list 和 x0 作为参数：
>>> x_list = [-3, 1, 2]
>>> y_list = symbols('a b c')
>>> apply_finite_diff(1, x_list, y_list, 0)
3⋅a b 2⋅c
- ─── - ─ + ───
20 4 5