介绍

本页提供 sympy.vector 中功能的简要概念概述。

向量和标量

在向量数学中，我们处理两种类型的量——标量和向量。

标量 是一个只有大小而没有方向的实体。标量量的例子包括质量、电荷、温度、距离等。

另一方面，向量 是一个由大小和方向表征的实体。向量量的例子包括位移、速度、磁场等。

标量可以通过一个数字来表示，例如温度300 K。另一方面，像加速度这样的矢量量通常用矢量表示。给定一个矢量 \(\mathbf{V}\)，相应量的大小可以计算为矢量本身的大小 \(\Vert \mathbf{V} \Vert\)，而方向将由原始矢量方向上的单位矢量指定， \(\mathbf{\hat{V}} = \frac{\mathbf{V}}{\Vert \mathbf{V} \Vert}\)。

例如，考虑一个位移为 \((3\mathbf{\hat{i}} + 4\mathbf{\hat{j}} + 5\mathbf{\hat{k}})\) 米，其中，根据标准惯例，\(\mathbf{\hat{i}}\)、\(\mathbf{\hat{j}}\) 和 \(\mathbf{\hat{k}}\) 分别表示沿 \(\mathbf{X}\)、\(\mathbf{Y}\) 和 \(\mathbf{Z}\) 轴的单位向量。因此，可以得出所行距离为 \(\Vert 3\mathbf{\hat{i}} + 4\mathbf{\hat{j}} + 5\mathbf{\hat{k}} \Vert\) 米 = \(5\sqrt{2}\) 米。行进方向由单位向量 \(\frac{3}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{i}} + \frac{4}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{j}} + \frac{5}{5\sqrt{2}}\mathbf{\hat{k}}\) 给出。

坐标系

坐标系 是一个用于定义 n 维空间中方向和位置概念的抽象数学实体。本模块处理三维空间，其中传统的 \(X\)、\(Y\) 和 \(Z\) 轴是相对于每个坐标系定义的。

每个坐标系都有一个称为“原点”的特殊参考点。这个点在引用3D空间中的位置时使用，或在计算相对于系统的预定义点的坐标时使用。

这是一个广为人知的概念，即在空间中不存在绝对的位置或方向。任何给定的坐标系统都定义了一种独特的‘视角’来量化位置和方向。因此，即使我们假设所有系统都使用相同的测量单位，矢量和标量量的表达也会根据某个观察者所使用的坐标系统而有所不同。

考虑空间中的两点 \(P\) 和 \(Q\)。假设单位在整个过程中是通用的，这些点之间的距离保持不变，无论测量是在哪个坐标系中进行的。然而，这两点的三维坐标，以及其中一点相对于另一点的位置向量，并不是这样。事实上，除非考虑到测量者的某个位置和方向（本质上就是坐标系），否则这两个量根本没有任何意义。

因此，很明显，坐标系的定向和位置（原点的位置）定义了不同量相对于它的表达方式。这两个属性都不能在绝对尺度上测量，而是相对于另一个坐标系来测量。一个系统相对于另一个系统的定向是通过旋转矩阵来测量的，而相对位置可以通过一个系统的原点相对于另一个系统的位置向量来量化。

字段

场 是一个可以在空间中任意位置指定的矢量或标量量，作为位置的函数（注意，通常情况下，场也可能依赖于时间和其它自定义变量）。由于我们只处理本模块中的3D空间，场被定义为 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 坐标的函数，这些坐标对应于坐标系中的一个位置。在这里，\(x\)、\(y\) 和 \(z\) 作为标量变量，定义了一个一般点的位置。

例如，三维空间中的温度（温度场）可以写成 \(T(x, y, z)\) – 位置的标量函数。电磁学中标量场的一个例子是电势。

同样地，一个矢量场可以定义为空间中任意一点位置 \((x, y, z)\) 的矢量函数。

例如，地球上的每一点都可以被认为处于地球的重力场中。我们可以通过重力引起的加速度的大小和方向（即单位质量的力）:math:\(\vec g(x, y, z)\) 来指定空间中每一点处的场。

以电磁学为例，考虑一个形式为 \(2{x}^{2}y\) 的电势，这是一个三维空间中的标量场。相应的保守电场可以通过电势函数的梯度计算得出，并表示为 \(4xy\mathbf{\hat{i}} + 2{x}^{2}\mathbf{\hat{j}}\)。该电场的大小可以反过来表示为一个形式为 \(\sqrt{4{x}^{4} + 16{x}^{2}{y}^{2}}\) 的标量场。