代数求解方程组

使用SymPy代数求解方程组，无论是线性还是非线性。例如，求解 \(x^2 + y = 2z, y = -4z\) 中的 x 和 y（假设 z 为常数或参数），结果为 \(\{(x = -\sqrt{6z}, y = -4z),\) \({(x = \sqrt{6z}, y = -4z)\}}\)。

考虑的替代方案

代数法解方程组的例子

无论你的方程是线性还是非线性的，你都可以使用 solve()：

代数求解线性方程组

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> solve([x + y - 2*z, y + 4*z], [x, y], dict=True)
[{x: 6*z, y: -4*z}]

代数求解非线性方程组

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> solve([x**2 + y - 2*z, y + 4*z], x, y, dict=True)
[{x: -sqrt(6)*sqrt(z), y: -4*z}, {x: sqrt(6)*sqrt(z), y: -4*z}]

指导

参见 Include the Variable to be Solved for in the Function Call 和 确保从 solve() 的格式一致。

有两种方法可以包含解决方案结果：字典 或 集合。字典更容易通过编程方式进行查询，因此如果你需要使用代码提取解决方案，我们推荐使用字典方法。

在字典中解决问题并使用结果

解决为以字典形式给出的解决方案

你可以为一个方程组中的某些变量（例如，\(x\) 和 \(y\)）求解，同时将另一个符号作为常量或参数（例如，\(z\)）。你可以将要求解的变量指定为多个单独的参数，或者作为一个列表（或元组）：

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> equations = [x**2 + y - 2*z, y + 4*z]
>>> solutions = solve(equations, x, y, dict=True)
>>> solutions
[{x: -sqrt(6)*sqrt(z), y: -4*z}, {x: sqrt(6)*sqrt(z), y: -4*z}]

使用作为字典给出的解决方案

然后，您可以通过索引（在方括号中指定）解决方案编号，然后是符号来提取解决方案。例如 solutions[0][x] 给出了第一个解决方案中 x 的结果：

>>> solutions[0][x]
-sqrt(6)*sqrt(z)
>>> solutions[0][y]
-4*z

在集合中求解结果

要获取符号列表和解决方案集合，请使用 set=True 而不是 dict=True：

from sympy import solve
from sympy.abc import x, y, z
solve([x**2 + y - 2*z, y + 4*z], [x, y], set=True)
([x, y], {(-sqrt(6)*sqrt(z), -4*z), (sqrt(6)*sqrt(z), -4*z)})

可以加速 solve() 的选项

参见 可以加速 solve() 的选项。

并非所有方程组都能被求解

无解的方程组

有些方程组没有解。例如，以下两个方程组没有解，因为它们简化为 1 == 0，所以 SymPy 返回一个空列表：

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y
>>> solve([x + y - 1, x + y], [x, y], dict=True)
[]

from sympy import solve
from sympy.abc import x, y, z
solve([x + y - (z + 1), x + y - z)], [x, y], dict=True)
[]

以下系统简化为 \(z = 2z\)，因此它没有一般解，但如果 \(z=0\)，则可以满足。注意，solve() 不会假设 \(z=0\)，即使这是使方程组一致的唯一 \(z\) 值，因为 \(z\) 是一个参数而不是未知数。也就是说，solve() 不将 \(z\) 视为未知数，因为它不在指定为未知数的符号列表 ([x, y]) 中，所有此类符号都被视为具有任意值的参数。一个符号是被视为变量还是参数，仅由它是否在 solve() 中指定为求解的符号决定。在使用 symbols() 创建符号时（或从 abc 导入时），没有做出这种区分。

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> solve([x + y - z, x + y - 2*z], [x, y], dict=True)
[]

以下系统是 过约束 的，这意味着方程的数量（三个）多于需要求解的未知数（两个，即 \(x\) 和 \(y\)）。它没有解：

>>> from sympy import solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> solve([x + y - z, x - (z + 1), 2*x - y], [x, y], dict=True)
[]

请注意，一些过约束系统确实有解（例如，如果一个方程是其他方程的线性组合），在这种情况下，SymPy 可以解过约束系统。

没有封闭形式解的方程组

一些方程组不能通过代数方法求解，例如包含 超越方程 的方程组：

>>> from sympy import cos, solve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> solve([x - y, cos(x) - y], [x, y], dict=True)
Traceback (most recent call last):
    ...
NotImplementedError: could not solve -y + cos(y)

因此，您可以使用 nsolve() 来 找到数值解：

>>> from sympy import cos, nsolve
>>> from sympy.abc import x, y, z
>>> nsolve([x - y, cos(x) - y], [x, y], [1,1])
    Matrix([
    [0.739085133215161],
    [0.739085133215161]])

具有封闭形式解的方程，SymPy 无法求解

也可能存在一个代数解来解决你的方程，而SymPy尚未实现适当的算法。如果你知道存在封闭形式的解，但SymPy返回了一个空集或列表（表明SymPy存在一个错误），请将其发布到邮件列表，或在SymPy的GitHub页面上开启一个问题。在问题解决之前，你可以使用Alternatives to Consider中列出的其他方法。

报告一个错误

如果你在使用 solve() 时发现了一个错误，请在 SymPy 邮件列表 上发布这个问题。在问题解决之前，你可以使用 Alternatives to Consider 中列出的其他方法。